Окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC и пересекает катет AC в точке
K, гипотенузу AB — в точке M. а) Докажите, что треугольники AKM и ABC подобны.
б) Найдите площадь четырёхугольника CKMB, если радиус окружности равен 29, катеты AC и BC равны 12 и 4 соответственно.
Решение
а)
1) Пусть ∠ABC=α. Так как четырёхугольник BCKM вписанный, значит, ∠ABC+∠CKM=180∘. Тогда ∠CKM=180∘−∠ABC=180∘−α. 2) ∠CKM+∠AKM=180∘ как смежные, ∠AKM=180∘−∠CKM=180∘−(180∘−α)=α. 3) Значит, △ABC∼△AKM по двум углам (∠ABC=∠AKM и ∠A -- общий), ч.т.д.
б)
1) В △ABC по теореме Пифагора:
AB2=BC2+AC2,AB=AC2+BC2=122+42=160=410. 2) BK -- это диаметр окружности, описанной около четырёхугольника BCKM, так как ∠ACB=90∘. Тогда BK=2r=229. 3) В △BKC по теореме Пифагора: BK2=BC2+CK2,CK=BK2−BC2=(229)2−42=10. Тогда AK=AC−CK=12−10=2. 4) Из △AKM∼△ABC получаем, что
SABCSAMK=(ABAK)2=(4102)2=401. 5) SABC=21⋅BC⋅AC=21⋅4⋅12=24, тогда SAMK=401SABC=401⋅24=106=0,6. 6) Следовательно, SBMCK=SABC−SAMK=24−0,6=23,4.
