Окружности — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГКР 07.04.2026

Окружность проходит через вершины

B

C

прямоугольного треугольника

ABC

и пересекает катет

AC

в точке

K

, гипотенузу

AB

— в точке

M

.
а) Докажите, что треугольники

AKM

ABC

подобны.
б) Найдите площадь четырёхугольника

CKMB

, если радиус окружности равен

\sqrt{29}

, катеты

AC

BC

равны 12 и 4 соответственно.

Решение

а)

1) Пусть

\angle ABC=\alpha

.
Так как четырёхугольник

BCKM

вписанный, значит,

\angle ABC + \angle CKM=180^{\circ}

. Тогда

\angle CKM=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\alpha

.
2)

\angle CKM + \angle AKM=180^{\circ}

как смежные,

\angle AKM=180^{\circ} - \angle CKM= 180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)=\alpha

.
3) Значит,

\triangle ABC \sim \triangle AKM

по двум углам (

\angle ABC=\angle AKM

\angle A

-- общий), ч.т.д.

б)

1) В

\triangle ABC

по теореме Пифагора:

AB^2=BC^2+AC^2, \quad AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}.

BK

-- это диаметр окружности, описанной около четырёхугольника

BCKM

, так как

\angle ACB=90^{\circ}

. Тогда

BK=2r=2\sqrt{29}

.
3) В

\triangle BKC

по теореме Пифагора:

BK^2=BC^2+CK^2, \quad CK=\sqrt{BK^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{29})^2-4^2}=10.

Тогда

AK=AC-CK=12-10=2

.
4) Из

\triangle AKM \sim \triangle ABC

получаем, что

\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AK}{AB}\right)^2=\left(\dfrac{2}{4\sqrt{10}}\right)^2=\dfrac{1}{40}.

S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BC \cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot 12=24

, тогда

S_{AMK}=\dfrac{1}{40}S_{ABC}=\dfrac{1}{40}\cdot 24=\dfrac{6}{10}=0,6

.
6) Следовательно,

S_{BMCK}=S_{ABC}-S_{AMK}=24-0,6=23,4

.

Ответ: б)

23,4

Похожие задачи