Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 03.12.22

В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA_1B_1C_1D_1

на ребре

AA_1

отмечена точка

E

так, что

A_1E:EA=3:2

. Точка

T

— середина ребра

B_1C_1

AA_1=10

AD=6

.

а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью

ETD_1

— равнобедренная
трапеция.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью

ETD_1

, если

AB=2\sqrt{10}

Решение

а) Пусть

Q

— точка пересечения прямых

D_1T

A_1B_1

, тогда

Q \in (ETD_1)

. Пусть

M

— точка пересечения прямых

EQ

BB_1

, тогда

M \in (ETD_1)

. Получается, что четырёхугольник

ED_1TM

— искомое сечение.

Рассмотрим плоскость

(A_1B_1C_1)

B_1T

— средняя линия треугольника

D_1A_1Q

, поэтому

A_1B_1 = B_1Q

D_1T = TQ

. Обозначим

A_1B_1 = B_1Q = x

. Из прямоугольного треугольника

TB_1Q

по теореме Пифагора получаем:

D_1T = QT = \sqrt{B_1Q^2 + B_1T^2} = \sqrt{9 + x^2}.

Рассмотрим плоскость

(AA_1B_1)

. Заметим, что

A_1E = \dfrac{3}{5}AA_1 = \dfrac{3}{5}\cdot 10 = 6.

Так как

A_1B_1 = B_1Q

A_1E\parallel B_1M

, то

B_1M

— средняя линия треугольника

A_1QE

, значит,

B_1M = 3

. Из прямоугольного треугольника

MB_1Q

по теореме Пифагора получаем:

EM = MQ = \sqrt{B_1M^2 + B_1Q^2} = \sqrt{9 + x^2}.

Таким образом,

EM = D_1T

Плоскость

(ETD_1)

пересекает параллельные плоскости

(AA_1D_1)

(BB_1C_1)

по прямым

ED

MT

соответственно, значит,

ED_1 \parallel MT

.

Прямоугольные треугольники

D_1A_1E

TB_1M

— равнобедренные, поэтому

ED_1 = 6\sqrt{2}

MT = 3\sqrt{2}

. То есть

ED_1 \neq MT

, следовательно,

ED_1TM

— трапеция.

б) Имеем:

EM = D_1T = \sqrt{9 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{49} = 7.

В трапеции

ED_1TM

опустим высоты

TH_1

MH_2

, тогда

D_1H_1 = H_2E = \dfrac{D_1E - H_1H_2}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике

D_1H_1T

находим высоту:

TH_1 = \sqrt{D_1T^2 - D_1H_1^2} = \sqrt{49 - \dfrac{9}{2}} = \sqrt{\dfrac{89}{2}}.

Получаем:

S_{ED_1TM} = \dfrac{D_1E + TM}{2}\cdot TH_1 = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{89}{2}} = \dfrac{9\sqrt{89}}{2}.

Ответ:

\dfrac{9\sqrt{89}}{2}

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи