В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре AA1 отмечена точка E так, что A1E:EA=3:2. Точка T -- середина ребра B1C1,AA1=10 и AD=6.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD1 -- равнобедренная
трапеция.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1, если AB=210.
Решение
а) Пусть Q -- точка пересечения прямых D1T и A1B1, тогда Q∈(ETD1). Пусть M -- точка пересечения прямых EQ и BB1, тогда M∈(ETD1). Получается, что четырёхугольник ED1TM -- искомое сечение.
Рассмотрим плоскость (A1B1C1).B1T -- средняя линия треугольника D1A1Q, поэтому A1B1=B1Q и D1T=TQ. Обозначим A1B1=B1Q=x. Из прямоугольного треугольника TB1Q по теореме Пифагора получаем:
D1T=QT=B1Q2+B1T2=9+x2.
Рассмотрим плоскость (AA1B1). Заметим, что
A1E=53AA1=53⋅10=6. Так как A1B1=B1Q и A1E∥B1M, то B1M -- средняя линия треугольника A1QE, значит, B1M=3. Из прямоугольного треугольника MB1Q по теореме Пифагора получаем:
EM=MQ=B1M2+B1Q2=9+x2. Таким образом, EM=D1T.
Плоскость (ETD1) пересекает параллельные плоскости (AA1D1) и (BB1C1) по прямым ED и MT соответственно, значит, ED1∥MT.
Прямоугольные треугольники D1A1E и TB1M -- равнобедренные, поэтому ED1=62 и MT=32. То есть ED1=MT, следовательно, ED1TM -- трапеция.
\par\medskip
б) Имеем:
EM=D1T=9+(210)2=49=7.
В трапеции ED1TM опустим высоты TH1 и MH2, тогда
D1H1=H2E=2D1E−H1H2=232. Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике D1H1T находим высоту:
TH1=D1T2−D1H12=49−29=289.
