В треугольнике ABC с тупым углом BAC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что треугольники AB1C1 и ABC подобны.
Ответ:
Решение
1) Так как BB1⊥AC и CC1⊥AB, имеем ∠BB1C=∠BC1C=90∘. Следовательно, точки B,C,B1,C1 лежат на одной окружности.
2) Угол ∠B1AC1 равен углу ∠BAC, так как его стороны лежат на прямых AC и AB.
3) Так как A,B1,C коллинеарны, ∠AB1C1=∠CB1C1. В окружности B,C,B1,C1 углы ∠CB1C1 и ∠CBC1 опираются на хорду CC1, поэтому равны. Но C1∈AB, значит ∠CBC1=∠CBA.
4) Итак, ∠B1AC1=∠BAC и ∠AB1C1=∠ABC. Следовательно, △AB1C1∼△ABC.
