Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Задание 22
Постройте график функции
y=12(∣x2,5−2,5x∣+x2,5+2,5x).y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{2{,}5}-\dfrac{2{,}5}{x}\right|+\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}\right).y=21​(​2,5x​−x2,5​​+2,5x​+x2,5​).
Определите, при каких значениях mmm прямая y=my=my=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ:

Решение

Область определения: x≠0x\neq 0x=0.

Раскроем модуль. Нуль подмодульного выражения: x2,5−2,5x=0\dfrac{x}{2{,}5}-\dfrac{2{,}5}{x}=02,5x​−x2,5​=0, откуда x=±2,5x=\pm 2{,}5x=±2,5.

Рассмотрим промежутки, на которых подмодульное выражение сохраняет знак.

Случай 1: x∈[−2,5;0)∪[2,5;+∞)x\in [-2{,}5;0)\cup[2{,}5;+\infty)x∈[−2,5;0)∪[2,5;+∞). Тогда
y=12(x2,5−2,5x+x2,5+2,5x)=x2,5.y=\dfrac12\left(\dfrac{x}{2{,}5}-\dfrac{2{,}5}{x}+\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}\right)=\dfrac{x}{2{,}5}.y=21​(2,5x​−x2,5​+2,5x​+x2,5​)=2,5x​.
Случай 2: x∈(−∞;−2,5)∪(0;2,5)x\in (-\infty;-2{,}5)\cup(0;2{,}5)x∈(−∞;−2,5)∪(0;2,5). Тогда
y=12(−x2,5+2,5x+x2,5+2,5x)=2,5x.y=\dfrac12\left(-\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}+\dfrac{x}{2{,}5}+\dfrac{2{,}5}{x}\right)=\dfrac{2{,}5}{x}.y=21​(−2,5x​+x2,5​+2,5x​+x2,5​)=x2,5​.
Таким образом:
y={x2,5,x∈[−2,5;0)∪[2,5;+∞),2,5x,x∈(−∞;−2,5)∪(0;2,5).y=\begin{cases}
\dfrac{x}{2{,}5}, & x\in [-2{,}5;0)\cup[2{,}5;+\infty),\\[8pt]
\dfrac{2{,}5}{x}, & x\in (-\infty;-2{,}5)\cup(0;2{,}5).
\end{cases}y=⎩⎨⎧​2,5x​,x2,5​,​x∈[−2,5;0)∪[2,5;+∞),x∈(−∞;−2,5)∪(0;2,5).​
В точках x=±2,5x=\pm 2{,}5x=±2,5 оба выражения принимают одинаковые значения: (−2,5;−1)(-2{,}5; -1)(−2,5;−1) и (2,5;1)(2{,}5; 1)(2,5;1) принадлежат графику.

Таблица значений для y=x2,5y=\dfrac{x}{2{,}5}y=2,5x​:

xxx: −2,5-2{,}5−2,5, −2-2−2, −1-1−1, 2,52{,}52,5, 555, 7,57{,}57,5
yyy: −1-1−1, −0,8-0{,}8−0,8, −0,4-0{,}4−0,4, 111, 222, 333

Таблица значений для y=2,5xy=\dfrac{2{,}5}{x}y=x2,5​:

xxx: −5-5−5, −2,5-2{,}5−2,5, 111, 222, 2,52{,}52,5
yyy: −0,5-0{,}5−0,5, −1-1−1, 2,52{,}52,5, 1,251{,}251,25, 111

График функции:
Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.2_main.svg

Прямая y=my=my=m — горизонтальная прямая. Ровно одну общую точку с графиком она имеет на уровнях граничных точек перехода между прямолинейными и гиперболическими участками.
Следовательно, m∈{−1}∪{1}m \in \{-1\} \cup\{1\}m∈{−1}∪{1}.

График для анализа значений параметра:
Рисунок решения ОГЭ 22: 22.15.2_param.svg