Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2+8x+16−a29x2−a2=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Уравнение равносильно системе:
{9x2−a2=0,x2+8x+16−a2=0. Решим первое уравнение:
9x2=a2;x2=9a2;x=±3a. Второе условие:
x2+8x+16=a2;(x+4)2=a2;x+4=aиx+4=−a. То есть x=a−4 и x=−a−4.
Исходное уравнение имеет ровно два корня, если корни числителя различны и не являются корнями знаменателя.
Корни числителя совпадают при a=0. Рассмотрим случаи, когда корни числителя совпадают с корнями знаменателя:
1.3a=a−4,a=6;2.3a=−a−4,a=−3;3.−3a=a−4,a=3;4.−3a=−a−4,a=−6. Ответ: R∖{±6;±3;0}.
