Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(1−(x+a+1)2)3−(1−(x+a+1)2)2=23∣x−a∣−22∣x−a∣ имеет хотя бы один корень.
Решение
Пусть u=1−(x+a+1)2,v=2∣x−a∣. Уравнение примет вид:
u3−u2=v3−v2,u2(u−1)+v2(1−v)=0.(1) Заметим, что ∣x−a∣≥0, тогда 2∣x−a∣≥1, при этом (x+a+1)2≥0, значит, 1−(x+a+1)2≤1. Получаем, что u−1≤0,u2≤1,u2(u−1)≤0 и 1−v≤0,v2≥1,v2(1−v)≤0. Следовательно, равенство (1) возможно тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.
{u2(u−1)=0,v2(1−v)=0;⎩⎨⎧[u=0,u=1,[v=0,v=1. Выше получили, что v≥1, тогда
⎩⎨⎧[u=0,u=1,v=1. Рассмотрим случай u=0,v=1: {1−(x+a+1)2=0,2∣x−a∣=1;{(x+a+1)2=1,∣x−a∣=0;{(a+a+1)2=1,x=a;⎩⎨⎧[2a+1=1,2a+1=−1,x=a; ⎩⎨⎧[2a=0,2a=−2,x=a;⎩⎨⎧[a=0,a=−1,x=a. Рассмотрим случай u=1,v=1: {1−(x+a+1)2=1,2∣x−a∣=1;{(x+a+1)2=0,∣x−a∣=0;{a+a+1=0,x=a;{a=−0,5,x=a. Объединяя все случаи, получаем, что a∈{−1;−0,5;0}. Ответ: a∈{−1;−0,5;0}.
