Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2024 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\left(1-(x+a+1)^2\right)^3-\left(1-(x+a+1)^2\right)^2=2^{3|x-a|}-2^{2|x-a|}

имеет хотя бы один корень.

Решение

Пусть

u=1-(x+a+1)^2

v=2^{|x-a|}

.
Уравнение примет вид:

u^3-u^2=v^3-v^2, \quad u^2(u-1)+v^2(1-v)=0.~~~(1)

Заметим, что

|x-a|\ge0

, тогда

2^{|x-a|}\ge1

, при этом

(x+a+1)^2\ge0

, значит,

1-(x+a+1)^2\le 1

.
Получаем, что

u-1\le0

u^2\le1

u^2(u-1)\le0

1-v\le0

v^2\ge1

v^2(1-v)\le0

.
Следовательно, равенство (1) возможно тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.

\begin{cases} u^2(u-1)=0, \\ v^2(1-v)=0; \end{cases} \quad\begin{cases} \left[ \begin{gathered} u=0, \\ u=1, \end{gathered}\right. \\[2ex] \left[ \begin{gathered} v=0, \\ v=1. \end{gathered}\right. \\\end{cases}

Выше получили, что

v\ge1

, тогда

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} u=0, \\ u=1, \end{gathered}\right. \\ v=1.\end{cases}

Рассмотрим случай

u=0

v=1

\begin{cases} 1-(x+a+1)^2=0, \\ 2^{|x-a|}=1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x+a+1)^2=1, \\ |x-a|=0; \end{cases} \quad \begin{cases} (a+a+1)^2=1, \\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} 2a+1=1, \\ 2a+1=-1, \end{gathered} \right.\\ x=a; \end{cases}

\begin{cases} \left[ \begin{gathered} 2a=0, \\ 2a=-2, \end{gathered} \right.\\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} a=0, \\ a=-1, \end{gathered} \right.\\ x=a. \end{cases}

Рассмотрим случай

u=1

v=1

\begin{cases} 1-(x+a+1)^2=1, \\ 2^{|x-a|}=1; \end{cases} \quad \begin{cases} (x+a+1)^2=0, \\ |x-a|=0; \end{cases} \quad \begin{cases} a+a+1=0, \\ x=a; \end{cases} \quad \begin{cases} a=-0,5, \\ x=a.\end{cases}

Объединяя все случаи, получаем, что

a\in \{-1; -0,5; 0\}

.
Ответ:

a\in \{-1; -0,5; 0\}

Похожие задачи