Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\left\{\begin{array}{l}\left(x y^2-3 x y-3 y+9\right) \sqrt{3-x}=0, \\y=a x\end{array}\right.

имеет ровно три различных решения.

Решение

Преобразуем первое уравнение системы:

(xy^2 - 3xy - 3y + 9) \sqrt{3 - x} = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{aligned} &xy^2 - 3xy - 3y + 9,\\ &\sqrt{3 - x} = 0, \end{aligned} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{aligned} &xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0,\\ &3 - x \end{aligned} \right.\\ 3 - x \geqslant 0. \end{cases}

Преобразуем:

xy^2 - 3xy - 3y + 9 = 0;\\ xy(y - 3) - 3(y - 3) = 0; \\ (xy - 3)(y - 3).

Заметим, что точка

(0;0)

не является решением системы. Так как функция

f(x) = \sqrt{3 - x}

определена при

x \leqslant 3

и обращается в ноль только при

x = 3

, то получаем равносильную систему:

\begin{cases}\left[ \begin{aligned} &y = \dfrac{3}{x}, \\[1.5mm] &y = 3, \\ &x = 3\end{aligned} \right. \\[2mm]x \leqslant 3, \\[1mm]y = ax.\end{cases}

Уравнение

y = ax

задаёт пучок прямых (кроме прямой

x = 0

), проходящих через точку

(0;0)

.

Таким образом, решениями системы являются точки пересечения прямой

y = ax

с графиками следующих функций:

1)

y = \dfrac{3}{x}

— гипербола с асимптотами

x = 0

y = 0

;
2)

y = 3

— горизонтальная прямая;
3)

x = 3

— вертикальная прямая.

Причём все решения должны удовлетворять условию

x \leqslant 3

.

Построим графики этих функций в осях

Oxy

и графики прямой

y = ax

в основных положениях.

Найдём основные точки пересечения:

1) прямая

x = 3

и гипербола пересекаются в точке

(3; 1)

;
2) прямая

y = 3

и гипербола пересекаются в точке

(1; 3)

;
3) прямые

x = 3

y = 3

пересекаются в точке

(3; 3)

.

I) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = ax

проходит через точку

(3; 1)

1 = a\cdot 3\quad\Rightarrow\quad a = \dfrac{1}{3}.

II) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = ax

проходит через точку

(3; 3)

3 = a\cdot 3\quad\Rightarrow\quad a = 1.

III) Найдём значение

a

, при котором прямая

y = ax

проходит через точку

(1; 3)

3 = a\cdot 1\quad\Rightarrow\quad a = 3.

Итого, получаем:

1) при

a = 0

система имеет

1

решение;
2) при

a \in (-\infty; 0)\cup\left(0;\dfrac{1}{3}\right]

система имеет

2

решения;
3) при

a \in \left( \dfrac{1}{3}; 1 \right] \cup \{ 3 \}

система имеет

3

решения;
4) при

a \in \left(1;3\right)\cup (3;+\infty)

система имеет

4

решения.

Ответ:

\left( \dfrac{1}{3}; 1 \right] \cup \{ 3 \}

Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи