Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{(xy2−3xy−3y+9)3−x=0,y=ax имеет ровно три различных решения.
Решение
Преобразуем первое уравнение системы:
(xy2−3xy−3y+9)3−x=0⇔[xy2−3xy−3y+9,3−x=0,⇔⎩⎨⎧[xy2−3xy−3y+9=0,3−x3−x⩾0. Преобразуем:
xy2−3xy−3y+9=0;xy(y−3)−3(y−3)=0;(xy−3)(y−3). Заметим, что точка (0;0) не является решением системы. Так как функция f(x)=3−x определена при x⩽3 и обращается в ноль только при x=3, то получаем равносильную систему:
⎩⎨⎧y=x3,y=3,x=3x⩽3,y=ax. Уравнение y=ax задаёт пучок прямых (кроме прямой x=0), проходящих через точку (0;0).
Таким образом, решениями системы являются точки пересечения прямой y=ax с графиками следующих функций:
1) y=x3 -- гипербола с асимптотами x=0 и y=0; 2) y=3 -- горизонтальная прямая;
3) x=3 -- вертикальная прямая.
Причём все решения должны удовлетворять условию x⩽3.
Построим графики этих функций в осях Oxy и графики прямой y=ax в основных положениях.
Найдём основные точки пересечения:
1) прямая x=3 и гипербола пересекаются в точке (3;1); 2) прямая y=3 и гипербола пересекаются в точке (1;3); 3) прямые x=3 и y=3 пересекаются в точке (3;3).
I) Найдём значение a, при котором прямая y=ax проходит через точку (3;1): 1=a⋅3⇒a=31. II) Найдём значение a, при котором прямая y=ax проходит через точку (3;3): 3=a⋅3⇒a=1. III) Найдём значение a, при котором прямая y=ax проходит через точку (1;3): 3=a⋅1⇒a=3. Итого, получаем:
1) при a=0 система имеет 1 решение;
2) при a∈(−∞;0)∪(0;31] система имеет 2 решения;
3) при a∈(31;1]∪{3} система имеет 3 решения;
4) при a∈(1;3)∪(3;+∞) система имеет 4 решения.
