Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6+(5a−8x)3+3x2+15a=24x не имеет корней.
Решение
Перепишем уравнение в виде x6+3x2=(8x−5a)3+3(8x−5a). Пусть u=x2,v=8x−5a,f(t)=t3+3t. Тогда получаем уравнение вида f(u)=f(v). Рассмотрим f(t)=t3+3t,f′(t)=3t2+3. Функция f(t) является монотонно возрастающей, так как её производная положительна при всех t. Тогда уравнение f(u)=f(v) равносильно уравнению u=v. x2=8x−5a,x2−8x+5a=0. Получили квадратное уравнение. Чтобы оно не имело корней, его дискриминант должен быть отрицательным.
Найдём дискриминант:
64−20a<0∣:4; 16−5a<0; a>516. Ответ: a∈(516;+∞).
