Найдите наибольшее значение функции y=(x+29)2e−27−x на отрезке [−28;−26].
Ответ:
Решение
Для начала найдём производные следующих функций:
((x+29)2)′=2(x+29)(x+29)′=2(x+29);e−27−x=e−27−x⋅(−27−x)′=−e−27−x. Найдём производную функции y: y′=2(x+29)e−27−x+(x+29)2⋅(−e−27−x)=e−27−x(x+29)(2−(x+29))=e−27−x(x+29)(−27−x). Найдём нули производной:
e−27−x(x+29)(−27−x)=0; (x+29)(−27−x)=0; [x+29=0,−x−27=0. [x=−29,x=−27. Отметим на оси Ox нули производной и определим промежутки убывания и возрастания функции:
y′(−26)=e−27+26⋅3⋅(−1)=−3e−1<0, поэтому производная меняет знак с <<->> на <<+>> в точке x=−27. Значит, это точка минимума.
Таким образом, функция y достигает наибольшего значения на отрезке
[−28;−26] в точке −27: y(−27)=(−27+29)2e0=4. Ответ: 4.
