Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПараметрыСтатГрад 03.10.2023

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

a|x+3|+(5-a)|x-3|-6=0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Рассмотрим уравнение

a|x+3|+(5-a)|x-3|-6=0.

Точки, в которых меняются модули по

x

x=-3, \qquad x=3.

Поэтому разбиваем числовую прямую на три области.

1 случай.

x\geqslant 3

.

Тогда

|x+3|=x+3, \qquad |x-3|=x-3.

Получаем:

a(x+3)+(5-a)(x-3)-6=0;\\ax+3a+5x-15-ax+3a-6=0;\\5x+6a-21=0;\\6a=21-5x;\\a=\frac{21-5x}{6}.

2 случай.

-3\leqslant x<3

.

Тогда

|x+3|=x+3, \qquad |x-3|=3-x.

Получаем:

a(x+3)+(5-a)(3-x)-6=0;\\ax+3a+15-5x-3a+ax-6=0;\\2ax-5x+9=0;\\2ax=5x-9;\\a=\frac{5}{2} - \frac{9}{2x}.

3 случай.

x<-3

.

Тогда

|x+3|=-x-3, \qquad |x-3|=3-x.

Получаем:

a(-x-3)+(5-a)(3-x)-6=0.\\-ax-3a+15-5x-3a+ax-6=0;\\-6a-5x+9=0;\\6a=9-5x;\\a=\frac{9-5x}{6}.

Итак, получаем три ветви графика:

a=\begin{cases}\dfrac{9-5x}{6}, & x<-3,\\[8pt]\dfrac{5x-9}{2x}, & -3\leqslant x<3,\\[8pt]\dfrac{21-5x}{6}, & x\geqslant 3.\end{cases}

При

x=-3

получаем

a = \dfrac{9-5x}{6} = \frac{9-5\cdot(-3)}{6}=\frac{24}{6}=4,

a=\frac{5x-9}{2x}=\frac{5\cdot(-3)-9}{2\cdot(-3)}=\frac{-24}{-6}=4.

При

x=3

получаем

a = \dfrac{5x-9}{2x} = \frac{5\cdot3-9}{2\cdot3}=\frac{6}{6}=1,

a=\frac{21-5x}{6}=\frac{21-5\cdot3}{6}=1.

Построим этот график в плоскости

xOa

По графику определяем, что уравнение имеет два различных корня при

a \in (-\infty;1) \cup (4;+\infty).

Ответ:

a \in (-\infty;1) \cup (4;+\infty)

Похожие задачи