Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
a∣x+3∣+(5−a)∣x−3∣−6=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Рассмотрим уравнение
a∣x+3∣+(5−a)∣x−3∣−6=0. Точки, в которых меняются модули по x: x=−3,x=3. Поэтому разбиваем числовую прямую на три области.
1 случай. x⩾3.
Тогда
∣x+3∣=x+3,∣x−3∣=x−3. Получаем:
a(x+3)+(5−a)(x−3)−6=0;ax+3a+5x−15−ax+3a−6=0;5x+6a−21=0;6a=21−5x;a=621−5x. 2 случай. −3⩽x<3.
Тогда
∣x+3∣=x+3,∣x−3∣=3−x. Получаем:
a(x+3)+(5−a)(3−x)−6=0;ax+3a+15−5x−3a+ax−6=0;2ax−5x+9=0;2ax=5x−9;a=25−2x9. 3 случай. x<−3.
Тогда
∣x+3∣=−x−3,∣x−3∣=3−x.
Получаем:
a(−x−3)+(5−a)(3−x)−6=0.−ax−3a+15−5x−3a+ax−6=0;−6a−5x+9=0;6a=9−5x;a=69−5x. Итак, получаем три ветви графика:
a=⎩⎨⎧69−5x,2x5x−9,621−5x,x<−3,−3⩽x<3,x⩾3. При x=−3 получаем
a=69−5x=69−5⋅(−3)=624=4, a=2x5x−9=2⋅(−3)5⋅(−3)−9=−6−24=4.
При x=3 получаем
a=2x5x−9=2⋅35⋅3−9=66=1, a=621−5x=621−5⋅3=1.
Построим этот график в плоскости xOa:
По графику определяем, что уравнение имеет два различных корня при
a∈(−∞;1)∪(4;+∞).
