Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Идея. Точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Нужно только аккуратно связать две пары расстояний.
1) Опустим из точки M перпендикуляры к указанным прямым; длины этих перпендикуляров и есть расстояния до прямых.
2) По свойству биссектрисы получаем ρ(M,AD)=ρ(M,AB).
3) По второй биссектрисе получаем ρ(M,AD)=ρ(M,CD).
4) Следовательно, расстояния от точки M до прямых AB, AD и CD равны. Значит, точка M равноудалена от этих прямых.
