Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
loga+2,5(x2+3)=loga+2,5((a+4)x+4) имеет ровно два различных корня.
Решение
Уравнение logf(x)g(x)=logf(x)h(x) равносильно любой из систем:
⎩⎨⎧f(x)>0,f(x)=1,g(x)=h(x),g(x)>0; ИЛИ ⎩⎨⎧f(x)>0,f(x)=1,g(x)=h(x),h(x)>0.
Тогда исходное уравнение равносильно системе:
⎩⎨⎧a+2,5>0,a+2,5=1,x2+3=(a+4)x+4,x2+3>0;⎩⎨⎧a>−2,5,a=−1,5,x2−(a+4)x−1=0.(∗) Рассмотрим уравнение (*). Оно является квадратным при всех значениях параметра a. Значит, оно имеет два различных корня, если его дискриминант положителен:
D=(a+4)2+4>0;a∈R. Пересекая с условиями a>−2,5 и a=−1,5, получаем, что a∈(−2,5;−1,5)∪(−1,5;+∞).
