С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10 , а затем к получившейся сумме прибавляют 3. a) Могло ли в результате такой операции получиться число 224? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314? в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.
Решение
Пусть исходное число abc=100a+10b+c=N. По условию, к числу прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, то есть 10b, получая 100a+10b+c+10b=100a+20b+c, а затем прибавляют 3. Результат операции:
M=100a+20b+c+3.
а) Подставим M=224: 100a+20b+c+3=224⇔100a+20b+c=221. Пусть a=2. Тогда:
200+20b+c=221⇒20b+c=21. Если b=1, то 20⋅1+c=21⇒c=1. Получили исходное число 211. Проверка: 211→211+10=221→221+3=224.
б) Подставим M=314: 100a+20b+c+3=314⇔100a+20b+c=311. Вынесем 20 за скобки:
20(5a+b)+c=311⇔20(5a+b)=311−c. Правая часть 311−c должна быть кратна 20 при c∈{0,…,9}, но ни при каких подходящих нам c разность 311−c не делится на 20. Решений нет.
в) Найдём наибольшее возможное значение отношения
NM=100a+10b+c100a+20b+c+3.
Выделим целую часть:
NM=1+100a+10b+c10b+3.
Для максимизации результата нужно максимизировать добавку 100a+10b+c10b+3. Чтобы дробь была большой, знаменатель должен быть как можно меньше, значит, a должно быть минимально возможным, то есть a=1. Также c должно быть минимальным, так как оно увеличивает знаменатель, не влияя на числитель 10b+3. Поэтому полагаем c=0.
При a=1,c=0 имеем:
NM=1+100+10b10b+3.
Снова выделим целую часть:
1+100+10b10b+3=1+100+10b10b+100−97=1+1−100+10b97=2−100+10b97.
Теперь очевидно, что дробь 100+10b97 убывает с ростом b, значит, всё выражение
2−100+10b97 возрастает с ростом b. Следовательно, b нужно взять максимально возможным, то есть b=9.
