Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Теория чисел

ФИПИ

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на

10

, а затем к получившейся сумме прибавляют

3

.
a) Могло ли в результате такой операции получиться число

224

?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число

314

?
в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Решение

Пусть исходное число

\overline{abc} = 100a + 10b + c=N.

По условию, к числу прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, то есть

10b

, получая

100a + 10b + c + 10b = 100a + 20b + c

, а затем прибавляют

3

. Результат операции:

M = 100a + 20b + c + 3.

а) Подставим

M = 224

100a + 20b + c + 3 = 224 \quad \Leftrightarrow \quad 100a + 20b + c = 221.

Пусть

a = 2

. Тогда:

200 + 20b + c = 221 \quad \Rightarrow \quad 20b + c = 21.

Если

b = 1

, то

20 \cdot 1 + c = 21 \Rightarrow c = 1

. Получили исходное число

211

. Проверка:

211 \to 211 + 10 = 221 \to 221 + 3 = 224

.

б) Подставим

M = 314

100a + 20b + c + 3 = 314 \quad \Leftrightarrow \quad 100a + 20b + c = 311.

Вынесем

20

за скобки:

20(5a + b) + c = 311 \quad \Leftrightarrow \quad 20(5a + b) = 311 - c.

Правая часть

311 - c

должна быть кратна

20

при

c \in \{0,\dots,9\}

, но ни при каких подходящих нам

c

разность

311 - c

не делится на

20

. Решений нет.

в) Найдём наибольшее возможное значение отношения

\dfrac{M}{N} = \dfrac{100a + 20b + c + 3}{100a + 10b + c}.

Выделим целую часть:

\dfrac{M}{N} = 1 + \dfrac{10b + 3}{100a + 10b + c}.

Для максимизации результата нужно максимизировать добавку

\dfrac{10b + 3}{100a + 10b + c}

.
Чтобы дробь была большой, знаменатель должен быть как можно меньше, значит,

a

должно быть минимально возможным, то есть

a = 1

. Также

c

должно быть минимальным, так как оно увеличивает знаменатель, не влияя на числитель

10b + 3

. Поэтому полагаем

c = 0

.

При

a = 1

c = 0

имеем:

\dfrac{M}{N} = 1 + \dfrac{10b + 3}{100 + 10b}.

Снова выделим целую часть:

1 + \dfrac{10b + 3}{100 + 10b} = 1 + \dfrac{10b + 100 - 97}{100 + 10b} = 1 + 1 - \dfrac{97}{100 + 10b} = 2 - \dfrac{97}{100 + 10b}.

Теперь очевидно, что дробь

\dfrac{97}{100 + 10b}

убывает с ростом

b

, значит, всё выражение

2 - \dfrac{97}{100 + 10b}

возрастает с ростом

b

. Следовательно,

b

нужно взять максимально возможным, то есть

b = 9

.

Подставляем

a = 1

b = 9

c = 0

M = 100 \cdot 1 + 20 \cdot 9 + 0 + 3 = 100 + 180 + 3 = 283,

N = 100 \cdot 1 + 10 \cdot 9 + 0 = 100 + 90 = 190,

\dfrac{M}{N} = \dfrac{283}{190}.

Ответ: а) да; б) нет; в)

\ {\dfrac{283}{190}}

Свойства чисел — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи