Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система уравнений
{∣x∣+∣y∣=ay=x+4 имеет ровно два различных решения.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы. При a=0 оно имеет ровно одно решение (0;0), при a<0 оно не имеет решений. Поэтому далее будем рассматривать случай a>0. Тогда оно равносильно следующей системе:
⎩⎨⎧y=−x+a,приx⩾0,y⩾0;y=x−a,приx⩾0,y⩽0;y=x+a,приx⩽0,y⩾0;y=−x−a,приx⩽0,y⩽0. Нетрудно заметить, что данная система задаёт четырёхугольник с вершинами A(−a;0),B(0;a),C(a;0) и D(0;−a), причём AO=OC=BO=OD=a и AC⊥BD, значит, ABCD - квадрат.
В осях Oxy изобразим график корня y=x+4 и квадрата ∣x∣+∣y∣=a в основных положениях.
(I) Найдём значение a, при котором квадрат пересекает функцию y=x+4: a=0+4=4=2.
(II)
При a=4 вершиной квадрата является точка (−4;0).
(III) Найдём значение a, при котором сторона квадрата касается графика корня. Касание происходит во второй четверти, поэтому получаем:
{x+4=x+a,(x+4)′=(x+a)′,⇒⎩⎨⎧x+4=x+a,2x+41=1,⇒⎩⎨⎧x+4=x+a,x+4=21,⇒ ⇒⎩⎨⎧x+a=21,x+4=41,⇒⎩⎨⎧a=21+415,x=−415,⇒⎩⎨⎧a=417,x=−415. Значит,
1) при a∈(−∞;2) система не имеет решений;
2) при a∈{2}∪(417;+∞) система имеет 1 решение;
3) при a∈(2;4)∪{417} система имеет 2 решения;
4) при a∈(4;417) система имеет 3 решения.
