Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все положительные значения

а

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}|x| + |y| = a \\y = \sqrt{x + 4}\end{cases}

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим первое уравнение системы. При

a = 0

оно имеет ровно одно решение

(0; 0)

, при

a < 0

оно не имеет решений. Поэтому далее будем рассматривать случай

a > 0

. Тогда оно равносильно следующей системе:

\begin{cases} y = -x + a,\; \text{ при } x\geqslant 0, y\geqslant 0;\\ y = x - a,\;\;\;\; \text{ при } x\geqslant 0, y\leqslant 0;\\ y = x + a,\;\;\;\; \text{ при } x\leqslant 0, y\geqslant 0;\\ y = -x - a,\; \text{ при } x\leqslant 0, y\leqslant 0. \end{cases}

Нетрудно заметить, что данная система задаёт четырёхугольник с вершинами

A(-a; 0)

B(0; a)

C(a; 0)

D(0;-a)

, причём

AO = OC = BO = OD = a

AC\perp BD

, значит,

ABCD

- квадрат.

В осях

Oxy

изобразим график корня

y = \sqrt{x + 4}

и квадрата

|x| + |y| = a

в основных положениях.

(I) Найдём значение

a

, при котором квадрат пересекает функцию

y = \sqrt{x + 4}

a = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2.

(II)
При

a = 4

вершиной квадрата является точка

(-4; 0)

.

(III) Найдём значение

a

, при котором сторона квадрата касается графика корня. Касание происходит во второй четверти, поэтому получаем:

\begin{cases} \sqrt{x + 4} = x + a,\\ (\sqrt{x + 4})' = (x + a)', \end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases} \sqrt{x + 4} = x + a,\\[1.5mm] \dfrac{1}{2\sqrt{x + 4}} = 1, \end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases} \sqrt{x + 4} = x + a,\\[1.5mm] \sqrt{x + 4} = \dfrac{1}{2}, \end{cases} \Rightarrow

\Rightarrow\quad \begin{cases} x + a = \dfrac{1}{2},\\[1.5mm] x + 4 = \dfrac{1}{4}, \end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases} a = \dfrac{1}{2} + \dfrac{15}{4},\\[1.5mm] x = -\dfrac{15}{4}, \end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases} a = \dfrac{17}{4},\\[1.5mm] x = -\dfrac{15}{4}. \end{cases}

Значит,
1) при

a \in (-\infty; 2)

система не имеет решений;
2) при

a \in \{2\}\cup\left(\dfrac{17}{4};+\infty\right)

система имеет

1

решение;
3) при

a\in (2; 4)\cup \left\{\dfrac{17}{4}\right\}

система имеет

2

решения;
4) при

a\in \left(4; \dfrac{17}{4}\right)

система имеет

3

решения.

Ответ:

(2; 4)\cup \left\{\dfrac{17}{4}\right\}

Похожие задачи