Системы уравнений с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}a x^2+a y^2-(2 a-5) x+2 a y+1=0, \\x^2+y=x y+x\end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

x^2 + y = xy + x \quad\Rightarrow\quad x^2 - xy - x + y = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)(x-y)=0.

Таким образом, система исходная система равносильна

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\ x = 1; \end{cases} \; (1) \\ &\begin{cases} ax^2 + ay^2 - (2a - 5)x + 2ay + 1 = 0,\\ y = x. \end{cases} \; (2) \end{aligned} \right.

Выясним, при каких

a

каждая из систем имеет два решения.

(1)

Подставим

x = 1

в первое уравнение:

a\cdot1^2 + a y^2 - (2a-5)\cdot1 + 2a y + 1 = 0;\\ a y^2 + 2a y + (6-a)=0.

При

a = 0

уравнение не имеет решений. При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = (2a)^2 - 4a(6 - a) > 0;\\ 8a^2 - 24a > 0;\\ 8a(a - 3) > 0;\\ a\in (-\infty; 0)\cup (3; +\infty).

(2)

Подставим

y = x

в первое уравнение:

a x^2 + a x^2 - (2a-5)x + 2a x + 1 = 0;\\ 2a x^2 + 5x + 1 = 0.

При

a = 0

это уравнение имеет ровно одно решение. При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = 25 - 8a > 0;\\ a < \frac{25}{8}.

Прямые

x = 1

y = x

пересекаются в точке

(1; 1)

, поэтому это единственный возможный общий корень систем (1) и (2). Выясним, когда это происходит. Подставим

(1; 1)

в первое уравнение исходной системы:

a\cdot1 + a\cdot1 - (2a-5)\cdot1 + 2a\cdot1 + 1 = 2a+6=0 \quad\Rightarrow\quad a=-3.

Итак, система имеет ровно четыре различных решения при

a \in (-\infty;-3) \cup (-3; 0) \cup \left(3;\dfrac{25}{8}\right)

Ответ:

(-\infty;-3) \cup (-3; 0) \cup \left(3;\dfrac{25}{8}\right)

Похожие задачи