Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{ax2+ay2−(2a−5)x+2ay+1=0,x2+y=xy+x имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Преобразуем второе уравнение системы:
x2+y=xy+x⇒x2−xy−x+y=0⇒(x−1)(x−y)=0. Таким образом, система исходная система равносильна
{ax2+ay2−(2a−5)x+2ay+1=0,x=1;(1){ax2+ay2−(2a−5)x+2ay+1=0,y=x.(2) Выясним, при каких a каждая из систем имеет два решения.
(1) Подставим x=1 в первое уравнение:
a⋅12+ay2−(2a−5)⋅1+2ay+1=0;ay2+2ay+(6−a)=0. При a=0 уравнение не имеет решений. При a=0 получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если D>0: D=(2a)2−4a(6−a)>0;8a2−24a>0;8a(a−3)>0;a∈(−∞;0)∪(3;+∞). (2) Подставим y=x в первое уравнение:
ax2+ax2−(2a−5)x+2ax+1=0;2ax2+5x+1=0. При a=0 это уравнение имеет ровно одно решение. При a=0 получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если D>0: D=25−8a>0;a<825. Прямые x=1 и y=x пересекаются в точке (1;1), поэтому это единственный возможный общий корень систем (1) и (2). Выясним, когда это происходит. Подставим (1;1) в первое уравнение исходной системы:
a⋅1+a⋅1−(2a−5)⋅1+2a⋅1+1=2a+6=0⇒a=−3. Итак, система имеет ровно четыре различных решения при a∈(−∞;−3)∪(−3;0)∪(3;825).
