Найдите все положительные значения a, при… — Параметры — ЕГЭ

Параметры100 параметров 2026ФИПИДемоверсия ЕГЭ 2020

Найдите все положительные значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} (|x| - 9)^2 + (y - 5)^2 = 9, \\ (x + 3)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Решим задачу графически в координатах

Oxy

.
Рассмотрим первое уравнение:

(|x|-9)^2 + (y-5)^2 = 9

.
При

x \ge 0

(x-9)^2 + (y-5)^2 = 9

в системе

Oxy

задаёт окружность с центром

O_1(9;5)

и радиусом

R_1=3

.
Заметим, что вся окружность будет лежать в области

x \ge 0

.
При

x < 0

(-x-9)^2 + (y-5)^2 = 9

(x+9)^2 + (y-5)^2 = 9

задаёт окружность с центром

O_2(-9;5)

R_2=3

.
Эта окружность также полностью расположена в области

x < 0

.
Следовательно, графиком первого уравнения
является пара описанных выше окружностей.
Второе уравнение

(x+3)^2 + y^2 = a^2

задаёт окружность с центром

O_3(-3;0)

и радиусом

R_3 = |a|

.
При увеличении

|a|

окружность увеличивается в размерах.
Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы окружность с центром

O_3

касалась ровно одной из окружностей с центрами

O_1

O_2

, а со второй при этом не имела общих точек.
Так как точка касания окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры, то в нашем случае касание происходит в точках

A,\ B, \ C

D

, лежащих на прямых

O_3O_1

O_3O_2

.

(I) касание в точке

C

O_3C + O_2C = O_3O_2.

O_3C = R_3 = |a|;

O_2C = R_2 = 3;

O_3O_2 = \sqrt{(-9+3)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{61};

|a| + 3 = \sqrt{61};

\quad |a| = \sqrt{61} - 3;

(II) касание в точке

A

AO_3 + AO_1 = O_3O_1.

AO_3 = R_3 = |a|, \quad AO_1 = R_1 = 3;

O_3O_1 = \sqrt{(9-(-3))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{144 + 25} = 13;

|a| + 3 = 13, \quad |a| = 10;

(III) касание в точке

D:

O_3D = O_3O_2 + O_2D.

O_3D = R_3 = |a|, \quad O_3O_2 = \sqrt{61}, \quad O_2D = R_2 = 3;

|a| = \sqrt{61} + 3;

(IV) касание в точке

B

O_3B = O_3O_1 + O_1B.

O_3B = R_3 = |a|, \quad O_3O_1 = 13;

O_1B = R_1 = 3;

|a| = 13 + 3 = 16.

Внутри положения (I) решений нет (окружность слишком мала) при

|a| < \sqrt{61}

-- 3;
в положении (I) ровно 1 решение при

|a| = \sqrt{61}

-- 3 ;
между (I) и (II) 2 решения при

\sqrt{61} - 3 < |a| < 10

;
в положении (II) 3 решения при

|a| = 10

;
между (II) и (III) 4 решения при

10 < |a| < \sqrt{61} + 3

;
в положении (III) 3 решения при

a = \sqrt{61} + 3

;
между (III) и (IV) 2 решения при

\sqrt{61} + 3 < |a| < 16

;
в положении (IV) 1 решение при

|a| = 16

;
вне положения (IV) нет решений (окружность слишком большая) при

|a| > 16

.
Следовательно, система имеет единственное решение при

|a| = \sqrt{61} - 3

и при

|a| = 16

.
По условию

a

положительно, значит

a \in \{ \sqrt{61} - 3; 16 \}.

Ответ:

a \in \{ \sqrt{61} - 3; 16 \}.

Параметры100 параметров 2026ФИПИДемоверсия ЕГЭ 2020

Найдите все положительные значения

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} (|x| - 9)^2 + (y - 5)^2 = 9, \\ (x + 3)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Решим задачу графически в координатах

Oxy

.
Рассмотрим первое уравнение:

(|x|-9)^2 + (y-5)^2 = 9

.
При

x \ge 0

(x-9)^2 + (y-5)^2 = 9

в системе

Oxy

задаёт окружность с центром

O_1(9;5)

и радиусом

R_1=3

.
Заметим, что вся окружность будет лежать в области

x \ge 0

.
При

x < 0

(-x-9)^2 + (y-5)^2 = 9

(x+9)^2 + (y-5)^2 = 9

задаёт окружность с центром

O_2(-9;5)

R_2=3

.
Эта окружность также полностью расположена в области

x < 0

.
Следовательно, графиком первого уравнения
является пара описанных выше окружностей.
Второе уравнение

(x+3)^2 + y^2 = a^2

задаёт окружность с центром

O_3(-3;0)

и радиусом

R_3 = |a|

.
При увеличении

|a|

O_3

касалась ровно одной из окружностей с центрами

O_1

O_2

A,\ B, \ C

D

, лежащих на прямых

O_3O_1

O_3O_2

.

(I) касание в точке

C

O_3C + O_2C = O_3O_2.

O_3C = R_3 = |a|;

O_2C = R_2 = 3;

O_3O_2 = \sqrt{(-9+3)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{61};

|a| + 3 = \sqrt{61};

\quad |a| = \sqrt{61} - 3;

(II) касание в точке

A

AO_3 + AO_1 = O_3O_1.

AO_3 = R_3 = |a|, \quad AO_1 = R_1 = 3;

O_3O_1 = \sqrt{(9-(-3))^2 + (5-0)^2} = \sqrt{144 + 25} = 13;

|a| + 3 = 13, \quad |a| = 10;

(III) касание в точке

D:

O_3D = O_3O_2 + O_2D.

O_3D = R_3 = |a|, \quad O_3O_2 = \sqrt{61}, \quad O_2D = R_2 = 3;

|a| = \sqrt{61} + 3;

(IV) касание в точке

B

O_3B = O_3O_1 + O_1B.

O_3B = R_3 = |a|, \quad O_3O_1 = 13;

O_1B = R_1 = 3;

|a| = 13 + 3 = 16.

Внутри положения (I) решений нет (окружность слишком мала) при

|a| < \sqrt{61}

-- 3;
в положении (I) ровно 1 решение при

|a| = \sqrt{61}

-- 3 ;
между (I) и (II) 2 решения при

\sqrt{61} - 3 < |a| < 10

;
в положении (II) 3 решения при

|a| = 10

;
между (II) и (III) 4 решения при

10 < |a| < \sqrt{61} + 3

;
в положении (III) 3 решения при

a = \sqrt{61} + 3

;
между (III) и (IV) 2 решения при

\sqrt{61} + 3 < |a| < 16

;
в положении (IV) 1 решение при

|a| = 16

;
вне положения (IV) нет решений (окружность слишком большая) при

|a| > 16

.
Следовательно, система имеет единственное решение при

|a| = \sqrt{61} - 3

и при

|a| = 16

.
По условию

a

положительно, значит

a \in \{ \sqrt{61} - 3; 16 \}.

Ответ:

a \in \{ \sqrt{61} - 3; 16 \}.