Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
Ответ:
Решение
1) Так как K,A,D лежат на одной прямой и K,B,C лежат на одной прямой, углы ∠AKB и ∠DKC равны как углы, образованные теми же двумя прямыми AD и BC.
2) Четырёхугольник ABCD вписанный, поэтому ∠DAB+∠DCB=180∘. Угол ∠KAB — внешний к углу DAB, значит ∠KAB=180∘−∠DAB=∠DCB. Так как K,B,C коллинеарны, ∠DCB=∠KCD.
3) Имеем две пары равных углов: ∠AKB=∠DKC и ∠KAB=∠KCD. Следовательно, △KAB∼△KCD.
