На стороне АС равностороннего треугольника ABC отмечена точка М. Серединный перпендикуляр к отрезку ВМ пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и К соответственно.
а) Докажите, что ∠AEM=∠CMK. б) Найдите отношение площадей треугольников АЕМ и СМК, если AM:MC=1:4.
Решение
а) Обозначим ∠AME=α. Так как треугольник ABC равносторонний, то ∠EAM=60∘. Из треугольника AEM найдём угол AEM: ∠AEM=180∘−∠EAM−∠AME=180∘−60∘−α=120∘−α. Тогда смежный с ним угол BEM равен
180∘−(120∘−α)=60∘+α. Пусть O — точка пересечения серединного перпендикуляра к BM с отрезком BM. Тогда EO⊥BM и BO=OM. Следовательно, треугольник EBM равнобедренный: EB=EM. Аналогично, KO — серединный перпендикуляр, поэтому треугольник BKM равнобедренный: KB=KM.
Треугольники EBK и EMK равны по трём сторонам (EB=EM,KB=KM,EK — общая). Следовательно, ∠EMK=∠EBK=60∘.
В четырёхугольнике BEMK сумма углов равна 360∘, следовательно,
∠EBK+∠BEM+∠EMK+∠BKM=360∘; 60∘+(60∘+α)+60∘+∠BKM=360∘; ∠BKM=180∘−α. Тогда
∠MKC=180∘−∠BKM=180∘−(180∘−α)=α.
Таким образом, в треугольнике CMK получаем: ∠MCK=60∘,∠MKC=α, значит, ∠CMK=120∘−α. Следовательно,
∠AEM=∠CMK=120∘−α.
б) Заметим, что
∠MKC=180∘−∠KMC−∠KCM=180∘−(120∘−α)−60∘=α=∠AME. Таким образом, треугольники AEM и CMK подобны.
Пусть AM=x, тогда MC=4x (по условию AM:MC=1:4). Обозначим коэффициент подобия треугольников AEM и CMK за k. Тогда:
KCAM=k⇒KC=kAM=kx; MCAE=k⇒AE=k⋅MC=4kx. Так как треугольник ABC равносторонний, то
AC=AM+MC=x+4x=5x. Следовательно,
AB=BC=AC=5x. Выразим EB и BK: EB=AB−AE=5x−4kx=x(5−4k); BK=BC−KC=5x−kx=kx(5k−1).
Так как EB=EM,BK=MK и MKEM=k, то получаем:
BKEB=k⇒kx(5k−1)x(5−4k)=k; k5k−15−4k=k; 5k−1k(5−4k)=k; 5k−15−4k=1; 5−4k=5k−1; k=32.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
SCMKSAEM=k2=(32)2=94. Ответ: 94.
