Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

УравненияЕГКР 03.12.22
а) Решите уравнение5cos⁡(2x)−3cos⁡x+125sin⁡2x−9=0.\dfrac{5\cos(2x) - 3\cos x + 1}{25\sin^2x - 9} = 0.25sin2x−95cos(2x)−3cosx+1​=0.б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π2;5π]\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right][27π​;5π].

Решение

Найдём, когда дробт существует:25sin⁡2x−9≠0;25\sin^2{x} - 9 \neq 0;25sin2x−9=0;sin⁡2x≠925;\sin^2{x} \neq \dfrac{9}{25};sin2x=259​;sin⁡x≠±35.\sin{x} \neq \pm\dfrac{3}{5}.sinx=±53​.Преобразуем числитель дроби. По формуле косинуса двойного угла получаем:5(2cos⁡2x−1)−3cos⁡x+1=0;5(2\cos^2{x} - 1) - 3\cos{x} + 1 = 0;5(2cos2x−1)−3cosx+1=0;10cos⁡2x−3cos⁡x+1=0.10\cos^2{x} - 3\cos{x} + 1 = 0.10cos2x−3cosx+1=0.Сделаем замену t=cos⁡xt = \cos{x}t=cosx. Получаем:10t2−3t−4=0;10t^2 - 3t - 4 = 0;10t2−3t−4=0;D=9+160=169=132;D = 9 + 160 = 169 = 13^2;D=9+160=169=132;t1=3+1320=45,t2=3−1320=−12.t_1 = \dfrac{3 + 13}{20} = \dfrac{4}{5},\quad t_2 = \dfrac{3 - 13}{20} = -\dfrac{1}{2}.t1​=203+13​=54​,t2​=203−13​=−21​.Так как(±35)2+(45)2=1,\left(\pm\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = 1,(±53​)2+(54​)2=1,то cos⁡x=45\cos{x} = \dfrac{4}{5}cosx=54​ нам не подходит.

Решим оставшееся уравнение:cos⁡x=−12;\cos{x} = -\dfrac{1}{2};cosx=−21​;x=±2π3+2πk,k∈Z.x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.x=±32π​+2πk,k∈Z.б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [7π2;5π]\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right][27π​;5π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
Изображение 1
На отрезок попал корень:14π3.\dfrac{14\pi}{3}.314π​.Ответ: а) ±2π3+2πk,k∈Z\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}±32π​+2πk,k∈Z; б) 14π3\dfrac{14\pi}{3}314π​.