Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решения неравенства x2+(3a−1)x−4a2+6a−2≤0 образуют отрезок, длина которого больше 5.
Решение
x2+(3a−1)x−4a2+6a−2=0 - квадратное при всех a. D=(3a−1)2−4(−4a2+6a−2)=9a2−6a+1+16a2−24a+8==25a2−30a+9=(5a−3)2;x1=2−(3a−1)−(5a−3)=2−3a+1−5a+3=−4a+2;x2=2−(3a−1)+(5a−3)=2−3a+1+5a−3=a−1. Графиком функции f(x)=x2+(3a−1)x−4a2+6a−2 является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому решением исходного неравенства будет отрезок между корнями (если x1=x2) или точка (если x1=x2).
Решение неравенства отрезок, длина которого больше 5, тогда ∣x1−x2∣>5. ∣−4a+2−a+1∣>5;∣5a−3∣>5;[5a−35a−3>5,<−5;[5a5a>8,<−2;[aa>1,6,<−0,4. Ответ: a∈(−∞;−0,4)∪(1,6;+∞).
