Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{x^{4}-13x^{2}+36}{(x-3)(x+2)}.

Определите, при каких значениях

c

прямая

y=c

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq -2

x\neq 3

.

Разложим на множители выражение в числителе функции:

x^{4}-13x^{2}+36=(x^{2}-9)(x^{2}-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2).

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

y\mathrel{=}

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотыми точками.

Для нахождения координат выколотых точек подставим запрещённые абсциссы в формулу

y=x^{2}+x-6

y(-2)=(-2)^2+(-2)-6=-4.

y(3)=3^2+3-6=6.

Следовательно, выколотые точки:

(-2; -4)

(3; 6)

.

Для параболы

y=x^{2} + x - 6

имеем

a=1

b=1

c=-6

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot(1)}=-0{,}5.

y_0=1\cdot(-0{,}5)^2+1\cdot(-0{,}5)-6=-6{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-0{,}5; -6{,}25)

.

Таблица значений для

y=x^{2} + x - 6

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Прямая

y=c

— горизонтальная прямая. Ровно одна общая точка получается на уровне вершины параболы и на уровнях выколотых точек.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

c \in \{-6{,}25\} \cup \{-4\} \cup\{6\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи