Тригонометрия, разложение на множители — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 18.03.2025

а) Решите уравнение

2\sin \left( x + \dfrac{\pi}{3}\right) - 2 \sqrt{3} \sin^2x= \sin x -2\sqrt{3}.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -3\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin \left( x + \dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x \cdot \cos \dfrac{\pi}{3}+\cos x \cdot \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.

Поулчаем:

2\left( \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right) -2\sqrt{3}\sin^2 x -\sin x +2\sqrt{3} =0;\\\sin x + \sqrt{3}\cos x -2\sqrt{3}\sin^2 x -\sin x +2\sqrt{3} =0;\\\sqrt{3}\cos x -2\sqrt{3}\sin^2 x +2\sqrt{3} =0; \quad | : \sqrt{3}\\\cos x -2\sin^2 x +2 =0.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\cos x -2(1-\cos ^2x) +2 =0;\\\cos x -2 + 2\cos ^2x +2 =0;\\\cos x + 2\cos^2x =0;\\\cos x (1+2 \cos x)=0;

Получаем:

\left[ \begin{gathered} \cos x =0, \\ 1+2 \cos x=0. \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \cos x =0, \\ \cos x=-\dfrac{1}{2}. \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x= \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\\ x= \pm \dfrac{2\pi}{3}+ 2\pi k, k \in \mathbb{}Z. \end{gathered}\right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi; -\dfrac{3\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{8\pi}{3},-\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{3\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k, \pm \dfrac{2\pi}{3}+ 2\pi k, k \in \mathbb{}Z;

б)

-\dfrac{8\pi}{3},-\dfrac{5\pi}{2}, -\dfrac{3\pi}{2}

Тригонометрия, разложение на множители — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи