Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияСтатГрад 13.12.2023

Диагонали равнобедренной трапеции

ABCD

с основаниями

AD

BC

перпендикулярны. Окружность с диаметром

AD

пересекает боковую сторону

CD

в точке

M

, а окружность с диаметром

CD

пересекает основание

AD

в точке

N

. Отрезки

AM

CN

пересекаются в точке

P

.

а) Докажите, что точка

P

лежит на диагонали

BD

трапеции

ABCD

.

б) Найдите расстояние от точки

P

до боковой стороны

AB

, если

BC=17

AD=31

Решение

а) Рассмотрим треугольник

ACD

Так как точка

N

лежит на окружности с диаметром

CD

, то

\angle CND=90^\circ

.

Значит,

CN

— высота

\triangle ACD

.

Так как точка

M

лежит на окружности с диаметром

AD

, то

\angle AMD=90^\circ

.

Значит,

AM

— высота

\triangle ACD

.

Отрезки

AM

CN

пересекаются в точке

P

, значит,

P

— ортоцентр

\triangle ACD

.

Следовательно, третья высота

\triangle ACD

, проведённая из точки

D

, тоже проходит через точку

P

.

По условию диагонали трапеции перпендикулярны, то есть

\angle ATD = 90^{\circ}

.

Значит,

TD

— высота

\triangle ACD

. Тогда

P\in TD \Rightarrow P\in BD

.

Что и требовалось доказать.

б) Найдём расстояние от точки

P

до боковой стороны

AB

Так как трапеция равнобедренная, то

DN=\frac{AD-BC}{2}=\frac{31-17}{2}=7.

Тогда

AN=AD-DN=31-7=24

.

В равнобедренной трапеции диагонали образуют равные углы с основанием. Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти углы равны

45^\circ

.

Значит,

\triangle ACN

прямоугольный равнобедренный, поэтому

CN=AN=24

.

Найдём боковую сторону:

CD=\sqrt{DN^2+CN^2}=\sqrt{7^2+24^2}=25.

Так как трапеция равнобедренная, то

AB=CD=25

.

Так как диагональ

BD

образует с основанием угол

45^\circ

, то

\triangle DNP

прямоугольный равнобедренный, значит,

PN=DN=7

.

Тогда

CP=CN-PN=24-7=17

.

Найдём площадь

\triangle ABP

как разность площадей:

S_{\triangle ABP}=S_{ABCD}-S_{\triangle CND}-S_{\triangle APN}-S_{\triangle BPC}.

Вычислим:

S_{ABCD}=\frac{31+17}{2}\cdot24=576,

S_{\triangle CND}=\frac12\cdot7\cdot24=84,

S_{\triangle APN}=\frac12\cdot24\cdot7=84,

S_{\triangle BPC}=\frac12\cdot17\cdot17=\frac{289}{2}.

Тогда

S_{\triangle ABP}=576-84-84-\frac{289}{2}=\frac{527}{2}.

Пусть

PH

— расстояние от точки

P

до боковой стороны

AB

. Тогда

S_{\triangle ABP}=\frac12\cdot AB\cdot PH.

Подставим:

\frac{527}{2}=\frac12\cdot25\cdot PH,

PH=\frac{527}{25}.

Ответ:

\dfrac{527}{25}

Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи