Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.
а) Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD. б) Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB, если
BC=17,AD=31.
Решение
а) Рассмотрим треугольник ACD.
Так как точка N лежит на окружности с диаметром CD, то ∠CND=90∘.
Значит, CN --- высота △ACD.
Так как точка M лежит на окружности с диаметром AD, то ∠AMD=90∘.
Значит, AM --- высота △ACD.
Отрезки AM и CN пересекаются в точке P, значит, P --- ортоцентр △ACD.
Следовательно, третья высота △ACD, проведённая из точки D, тоже проходит через точку P.
По условию диагонали трапеции перпендикулярны, то есть ∠ATD=90∘.
Значит, TD --- высота △ACD. Тогда P∈TD⇒P∈BD.
Что и требовалось доказать.
б) Найдём расстояние от точки P до боковой стороны AB.
Так как трапеция равнобедренная, то
DN=2AD−BC=231−17=7.
Тогда AN=AD−DN=31−7=24.
В равнобедренной трапеции диагонали образуют равные углы с основанием. Так как по условию диагонали перпендикулярны, то эти углы равны 45∘.
Значит, △ACN прямоугольный равнобедренный, поэтому CN=AN=24.
Найдём боковую сторону:
CD=DN2+CN2=72+242=25.
Так как трапеция равнобедренная, то AB=CD=25.
Так как диагональ BD образует с основанием угол 45∘, то △DNP прямоугольный равнобедренный, значит, PN=DN=7.
Тогда CP=CN−PN=24−7=17.
Найдём площадь △ABP как разность площадей:
S△ABP=SABCD−S△CND−S△APN−S△BPC.
