Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Неравенства

ФИПИ

Решите неравенство

\left(\log_{0,25}^2(x+3) - \log_4(x^2+6x+9) + 1 \right) \cdot \log_4(x+2) \leqslant 0.

Решение

Найдём ОДЗ:

\begin{cases} x^2 + 6x + 9 > 0,\\ x + 3 > 0,\\ x+2 > 0. \end{cases} \Leftrightarrow\; x > -2.

Сделаем преобразования:

\log_{0,25}^2(x+3) = \log_{4^{-1}}^2(x+3) = (-\log_4(x + 3))^2 = \log^2_4(x+3);

\log_4(x^2+6x+9) = \log_4(x+3)^2 = 2\log_4|x+3|.

Так как

x > -2

, то

2\log_4|x+3| = 2\log_4(x+3)

.

Получаем неравенство:

\left(\log_{4}^2(x+3) - 2\log_4(x + 3) + 1 \right) \cdot \log_4(x+2) \leqslant 0;

(\log_4(x+3) - 1)^2 \cdot \log_4(x+2) \leqslant 0;

(\log_4(x+3) - \log_{4}{4})^2 \cdot (\log_4(x+2) - \log_4{1})\leqslant 0.

Воспользуемся методом рационализации:

\begin{cases} (x + 3 - 4)^2\cdot ((x + 2) - 1) \leqslant 0,\\ x > -2. \end{cases}

\begin{cases} (x - 1)^2\cdot (x + 1) \leqslant 0,\\ x > -2. \end{cases}

Решим первое неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 2$

С учётом ОДЗ получаем окончательный ответ:

(-2;-1] \cup \{1\}

$Изображение 1$

Ответ:

(-2;-1] \cup \{1\}

Похожие задачи