Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение ∣x2−2ax+1∣=∣4a−x2−2x+3∣ имеет более двух решений.
Решение
Уравнение вида ∣f(x)∣=∣g(x)∣ равносильно совокупности
[f(x)=g(x),f(x)=−g(x). Раскроем модули:
[x2−2ax+1=4a−x2−2x+3,x2−2ax+1=−4a+x2+2x−3;[2x2−2x(a−1)−4a−2=0,(1)x(1+a)=2+2a.(2) Рассмотрим уравнение (2). При a=−1x=2. При a=−1 уравнение (2) и, следовательно, исходное уравнение имеют бесконечное число решений, значит, a=−1 подходит.
Для того, чтобы исходное уравнение имело более двух решений, необходимо, чтобы уравнение (1) имело 2 различных решения, отличных от 2. Запишем условие положительности дискриминанта уравнения (1) и подставим x=2 в уравнение (2), получим систему:
{4(a−1)2−2⋅4⋅(−4a−2)>0,2⋅22−2⋅2(a−1)−4a−2=0;{4a2−8a+4+32a+16>0,8−4a+4−4a−2=0;{a2+6a+5>0,8a=10;⎩⎨⎧(a+1)(a+5)>0,a=45;
a∈(−∞;−5)∪(−1;45)∪(45;+∞). Объединяя со случаем a=−1, получаем a∈(−∞;−5)∪[−1;45)∪(45;+∞).
