Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

|x^2-2ax+1|=|4a-x^2-2x+3|

имеет более двух решений.

Решение

Уравнение вида

|f(x)| = |g(x)|

равносильно совокупности

\left[\begin{aligned}&f(x) = g(x), \\&f(x) = -g(x).\end{aligned}\right.

Раскроем модули:

\left[\begin{aligned}x^2 - 2ax + 1 = 4a - x^2 - 2x + 3, \\x^2 - 2ax + 1 = -4a + x^2 + 2x - 3;\end{aligned}\right.\\[0.5em]\left[\begin{aligned}&2x^2 - 2x(a-1) - 4a - 2 = 0, \quad (1) \\&x(1+a) = 2 + 2a. \quad (2)\end{aligned}\right.

Рассмотрим уравнение (2). При

a \neq -1

x=2

. При

a = -1

уравнение (2) и, следовательно, исходное уравнение имеют бесконечное число решений, значит,

a = -1

подходит.
Для того, чтобы исходное уравнение имело более двух решений, необходимо, чтобы уравнение (1) имело 2 различных решения, отличных от 2. Запишем условие положительности дискриминанта уравнения (1) и подставим

x=2

в уравнение (2), получим систему:

\begin{cases}4(a-1)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (-4a-2) > 0, \\2 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2(a-1) - 4a - 2 \neq 0;\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}4a^2 - 8a + 4 + 32a + 16 > 0, \\8 - 4a + 4 - 4a - 2 \neq 0;\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}a^2 + 6a + 5 > 0, \\8a \neq 10;\end{cases}\\[0.5em]\begin{cases}(a+1)(a+5) > 0, \\a \neq \dfrac{5}{4};\end{cases}

a \in \left(-\infty; -5\right) \cup \left(-1; \dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{5}{4}; +\infty\right).

Объединяя со случаем

a = -1

, получаем

a \in \left(-\infty; -5\right) \cup \left[-1; \dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{5}{4}; +\infty\right).

Ответ:

a \in \left(-\infty; -5\right) \cup \left[-1; \dfrac{5}{4}\right) \cup \left(\dfrac{5}{4}; +\infty\right)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи