В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 16, а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SB отмечены
точки M и K соответственно, причём AM=4,SK=2. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K. а) Докажите, что плоскость α содержит точку C. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
Решение
а) Проведем прямую KH⊥ABC. Пусть прямая CH пересекает AB в точке M′. Тогда плоскость α это плоскость KM′C. Также отрезок SO — высота пирамиды.
Треугольники SOB и KHB подобны по двум углам, следовательно:
KSBK=HOBH=16. Треугольники DHC и BHM′ подобны по двум углам (∠BDC=∠DBM,∠DCM=∠BMC), следовательно:
BM′CD=HBDH=34⇒BM′=43CD=12=BM. Таким образом, точки M и M′ совпадают. Следовательно, точка C принадлежит плоскости α.
б)
По теореме Пифагора для △MBC: MC=MB2+BC2=144+256=20 Так как ABCD - квадрат и BD его диагональ:
OB=2BD=2162=82 По теореме Пифагора для △SOB: SO=SB2−OB2=196−128=68=217. Из подобия △KHB и △SOB следует, что KH=76SO=76217=71217 В итоге
SKMC=21⋅KH⋅MC=21⋅20⋅71217=712017
