Для студентов Для учителей

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 02.10.2024

В правильной четырёхугольной пирамиде

SABCD

сторона основания

AB

равна

16

, а боковое ребро

SA

равно

14

. На рёбрах

AB

и

SB

отмечены
точки

M

и

K

соответственно, причём

AM = 4

,

SK = 2

. Плоскость

\alpha

перпендикулярна плоскости

ABC

и содержит точки

M

и

K

.
а) Докажите, что плоскость

\alpha

содержит точку

C

.
б) Найдите площадь сечения пирамиды

SABCD

плоскостью

\alpha

.

Решение

а) Проведем прямую

KH \perp ABC

. Пусть прямая

CH

пересекает

AB

в точке

M'

. Тогда плоскость

\alpha

это плоскость

KM'C

. Также отрезок

SO

— высота пирамиды.
Треугольники

SOB

и

KHB

подобны по двум углам, следовательно:

\dfrac{BK}{KS}=\dfrac{BH}{HO}= \dfrac{6}{1}.

Треугольники

DHC

и

BHM'

подобны по двум углам (

\angle BDC = \angle DBM, \ \angle DCM = \angle BMC

), следовательно:

\dfrac{CD}{BM'}=\dfrac{DH}{HB}= \dfrac{4}{3} \Rightarrow BM' = \dfrac{3}{4}CD = 12 = BM.

Таким образом, точки

M

и

M'

совпадают. Следовательно, точка

C

принадлежит плоскости

\alpha

.

б)
По теореме Пифагора для

\triangle MBC

:

MC = \sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{144+256}=20

Так как

ABCD

- квадрат и

BD

его диагональ:

OB=\frac{BD}{2}=\frac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}

По теореме Пифагора для

\triangle SOB

:

SO = \sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{196-128}=\sqrt{68} = 2\sqrt{17}.

Из подобия

\triangle KHB

и

\triangle SOB

следует, что

KH = \dfrac{6}{7}SO=\dfrac{6}{7}2\sqrt{17} = \dfrac{12}{7}\sqrt{17}

В итоге

S_{KMC} =\dfrac{1}{2}\cdot KH \cdot MC = \frac{1}{2}\cdot 20 \cdot \frac{12}{7}\sqrt{17}=\frac{120\sqrt{17}}{7}

Ответ:

\dfrac{120\sqrt{17}}{7}

.