Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(∣x−a−2∣+∣x−a+2∣)2−a(∣x−a−2∣+∣x−a+2∣)+a2−64=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть ∣x−a−2∣+∣x−a+2∣=t, тогда уравнение примет вид
t2−at+a2−64=0.(1) Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. При этом отметим, что для любых a верно неравенство a+2>a−2.
1) x⩽a−2: t=−x+a+2−x+a−2=−2x+2a. 2) a−2<x<a+2: t=−x+a+2+x−a+2=4. 3) x⩾a+2: t=x−a−2+x−a+2=2x−2a. В системе Oxt построим график функции t=∣x−a−2∣+∣x−a+2∣:
Таким образом, при t<4 решений по x нет, при t=4 будет бесконечное число решений по x, а каждому t>4 соответствует два решения по x. Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 4, а другой корень либо был меньше 4, либо не существовал.
Пусть f(t)=t2−at+a2−64, графиком является парабола с ветвями вверх.
Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от t=4, либо касалась оси правее t=4. Рассмотрим эти случаи:
1) Уравнение f(t)=0 имеет два корня, расположенных по разные стороны от 4.
Этот случай задаётся условием
f(4)<0,16−4a+a2−64<0,a2−4a−48<0,(a−(2−213)(a−(2+213)<0;
a∈(2−213;2+213). 2) Уравнение f(t)=0 имеет один корень, больший 4.
Этот случай задаётся системой
{tВ>4,D=0;{2a>4,a2−4a2+256=0;⎩⎨⎧a>8,a2=3256;⎩⎨⎧a>8,a=±316;a=316. Объединяя все случаи, получаем, что a∈(2−213;2+213)∪{316}. Ответ: a∈(2−213;2+213)∪{316}.
