Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\bigl(|x - a - 2| + |x - a + 2|\bigr)^2 -a\bigl(|x - a - 2| + |x - a + 2|\bigr) + a^2 - 64 = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

|x - a - 2| + |x - a + 2|=t

, тогда уравнение примет вид

t^2-at+a^2-64=0.~~~(1)

Проанализируем замену. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой. При этом отметим, что для любых

a

верно неравенство

a+2> a-2

$Изображение 1$

x \leqslant a-2

t = -x+a+2-x+a-2=-2x+2a.

a-2 < x < a+2

t = -x+a+2+x-a+2=4.

x \geqslant a+2

t = x-a-2+x-a+2=2x-2a.

В системе

Oxt

построим график функции

t = |x - a - 2| + |x - a + 2|

$Изображение 2$

Таким образом, при

t<4

решений по

x

нет, при

t=4

будет бесконечное число решений по

x

, а каждому

t>4

соответствует два решения по

x

.
Таким образом, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, нам нужно, чтобы ровно один корень уравнения (1) был больше 4, а другой корень либо был меньше 4, либо не существовал.
Пусть

f(t)=t^2-at+a^2-64

, графиком является парабола с ветвями вверх.
Нам нужно, чтобы парабола либо пересекала ось абсцисс по разные стороны от

t=4

, либо касалась оси правее

t=4

.
Рассмотрим эти случаи:
1) Уравнение

f(t)=0

имеет два корня, расположенных по разные стороны от 4.

$Изображение 3$

Этот случай задаётся условием

f(4)<0, \quad 16-4a+a^2-64<0, \quad a^2-4a-48<0, \quad (a-(2-2\sqrt{13})(a-(2+2\sqrt{13})<0;

$Изображение 4$

a\in (2-2\sqrt{13}; 2+2\sqrt{13}).

2) Уравнение

f(t)=0

имеет один корень, больший 4.

Interactive background for parameters-2026:16.3

Этот случай задаётся системой

\begin{cases} t_{\text{В}}>4, \\ D=0; \end{cases} \quad\begin{cases} \dfrac{a}{2}>4, \\ a^2-4a^2+256=0; \end{cases} \quad\begin{cases} a>8, \\ a^2=\dfrac{256}{3}; \end{cases}\quad\begin{cases} a>8, \\ a=\pm \dfrac{16}{\sqrt{3}}; \end{cases} \quad a=\dfrac{16}{\sqrt{3}}.

Объединяя все случаи, получаем, что

a\in(2-2\sqrt{13}; 2+2\sqrt{13}) \cup \left\{\dfrac{16}{\sqrt{3}}\right\}

.
Ответ:

a\in(2-2\sqrt{13}; 2+2\sqrt{13}) \cup \left\{\dfrac{16}{\sqrt{3}}\right\}

Static parameter plot for parameters-2026:16.3

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи