Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. Через точку O провели прямую, параллельную основаниям BC и AD.
a) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
б) Найдите отношение длин оснований трапеции, если AO=CO и данная прямая делит сторону AB в отношении AM:MB=1:2.
Решение
а) Так как MN∥AD, то ∠AOM=∠OAD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). AO — биссектриса, поэтому ∠MAO=∠OAD. Следовательно, ∠AOM=∠MAO, и треугольник AMO равнобедренный: AM=MO.
Аналогично, ∠CON=∠BCO (накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и BC), CO — биссектриса, поэтому ∠NCO=∠BCO. Следовательно, ∠CON=∠NCO, и треугольник CNO равнобедренный: CN=NO.
Трапеция равнобедренная, поэтому AB=CD. Значит, из параллельности прямых AD,BC и MN следует, что AM=DN и MB=NC. Следовательно,
MN=MO+ON=AM+CN=AB.
б) Из точки O опустим перпендикуляр OH на основание AD. Также из точки C опустим перпендикуляры CL и CP на прямые MN и AD соответственно. Заметим, что OH=LP.
Трапеция является равнобедренной, поэтому ∠ABC=∠BCD. Вместе с тем, ∠BAD+∠ABC=180∘, значит,
∠BAD+∠BCD=180∘. Так как AO и CO — биссектрисы, то:
∠OAD+∠OCB=2∠BAD+∠BCD=2180∘=90∘. Пусть ∠OAD=α, тогда ∠ADC=2α и ∠OCB=90∘−α. В прямоугольном треугольнике OLC получаем: ∠OCL=α.
Прямоугольные треугольники AHO и OCL имеют равные гипотенузы (AO=CO) и равные острые углы (∠OAH=α=∠OCL). Значит, эти треугольники равны, откуда:
AH=CL,OH=OL. Тогда OLPH — квадрат. Следовательно, AP=CP.
В прямоугольном треугольнике AHO из обобщённой теоремы Фалеса получаем:
tgα=AHOH=CLLP=CNND=21.
Тогда:
PDCP=tg2α=1−tg2α2tgα=1−(21)22⋅21=431=34. Пусть CP=4a и PD=3a. Значит,
AD=AP+PD=CP+PD=4a+3a=7a.
Так как трапеция равнобедренная, то
BC=AD−2PD=7a−6a=a. Следовательно,
ADBC=7aa=71. Ответ: 71.
