Решите неравенство… — Неравенства — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

НеравенстваЕГЭ 2025 (пересдача)

Решите неравенство

\dfrac{1,5^{x}-3,375}{0,25^{x}-0,5^{x-3,5}+32} \leqslant 0.

Решение

По свойствам степеней:

0,25^x = 2^{-2x};

0,5^{x-3,5} = 0,5^x \cdot 0,5^{-3,5} = 2^{-x} \cdot 2^{3,5} = 2\cdot 2^{-x} \cdot 4\sqrt{2};

32 = (4\sqrt{2})^{2}.

Тогда неравенство примет вид:

\dfrac{1,5^{x}-1,5^3}{2^{-2x}-2\cdot 2^{-x}\cdot 4\sqrt{2} + (4\sqrt{2})^2} \leqslant 0;

\dfrac{1,5^{x}-1,5^3}{(2^{-x}-2^{2,5})^2} \leqslant 0.

Учитывая, что

1,5 > 1

2 > 1

, воспользуемся методом рационализации:

\dfrac{x-3}{(-x-2,5)^2} \leqslant0;

\dfrac{x-3}{(x+2,5)^2} \leqslant0.

Решим полученное неравенство с помощью метода интервалов:

$Изображение 1$

Получаем, что

x\in(-\infty; -2,5) \cup (-2,5;3]

.
Ответ:

(-\infty; -2,5) \cup (-2,5;3]