Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2025 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при которых уравнение

\bigl(|x - 6| - |x - a|\bigr)^2 - 3a\bigl(|x - 6| - |x - a|\bigr) + 2a^2 + a - 1 = 0

имеет ровно два различных корня.

Решение

Пусть

|x - 6| - |x - a|=t

, тогда уравнение примет вид

t^2-3at+2a^2+a-1=0.~~~(1)

Найдём его корни.

D=9a^2-4(2a^2+a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2;

t_1=\dfrac{3a+a-2}{2}=2a-1, \quad t_2=\dfrac{3a-a+2}{2}=a+1;

\left [\begin{gathered} t=2a-1, \\ t=a+1. \end{gathered}\right.

Проанализируем замену

t=|x - 6| - |x - a|

.
Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой.
Нули модулей:

x=6

x=a

.

Рассмотрим случай

a>6

$Изображение 1$

x \leqslant 6

t = 6-x+x-a=6-a.

6 < x < a

t = x-6+x-a=2x-6-a.

x \geqslant a

t = x-6-x+a=a-6.

В системе

Oxt

при

a>6

построим график функции

t = |x - 6| - |x - a|

$Изображение 2$

Рассмотрим случай

a=6

t=|x-6|-|x-6|=0.

Графиком является горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс. В этом случае уравнение не может иметь ровно два различных корня.
Рассмотрим случай

a<6

$Изображение 3$

x \leqslant a

t = -x+6+x-a=6-a.

a < x < 6

t = -x+6-x+a=-2x+6+a.

x \geqslant 6

t = x-6-x+a=a-6.

В системе

Oxt

при

a<6

построим график функции

t = |x - 6| - |x - a|

$Изображение 4$

Таким образом, при

a>6

каждому значению

t

из промежутка

(6-a;a-6)

соответствует одно значение

x

, значениям

t=\pm (6-a)

соответствует бесконечное число значений

x

, а при

t<6-a

t>a-6

решений нет.

При

a<6

каждому значению

t

из промежутка

(a-6;6-a)

соответствует одно значение

x

, значениям

t=\pm (6-a)

соответствует бесконечное число значений

x

, а при

t < a-6

t > 6 - a

решений нет.
Объединим условия:

1) при

t<-|a-6|

t>|a-6|

-- решений нет;
2) при

t=\pm|a-6|

-- бесконечное число решений;
3) при

-|a-6| < t < |a-6|

-- одно решение.

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, уравнение

t^2-3at+2a^2+a-1=0

должно иметь два различных решения на промежутке

(-|a-6|; |a-6|)

\begin{cases} -|a-6|< 2a-1 <|a-6|, \\ -|a-6|< a+1 <|a-6|, \\ 2a-1 \neq a+1; \end{cases} \quad \begin{cases} |2a-1|<|a-6|, \\ |a+1|<|a-6|, \\ a \neq 2; \end{cases}

\begin{cases} (2a-1-a+6)(2a-1+a-6)<0, \\ (a+1-a+6)(a+1+a-6)<0, \\ a \neq 2; \end{cases} \quad \begin{cases} (a+5)(3a-7)<0, \\ 7(2a-5)<0, \\ a \neq 2; \end{cases}

$Изображение 5$

$Изображение 6$

$Изображение 7$

Значит,

a\in \left(-5;2\right) \cup \left(2; \dfrac{7}{3}\right)

.
Ответ:

a\in \left(-5;2\right) \cup \left(2; \dfrac{7}{3}\right)

Параметр с модулем — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи