Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
(∣x−6∣−∣x−a∣)2−3a(∣x−6∣−∣x−a∣)+2a2+a−1=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Пусть ∣x−6∣−∣x−a∣=t, тогда уравнение примет вид
t2−3at+2a2+a−1=0.(1) Найдём его корни.
D=9a2−4(2a2+a−1)=a2−4a+4=(a−2)2; t1=23a+a−2=2a−1,t2=23a−a+2=a+1; [t=2a−1,t=a+1. Проанализируем замену t=∣x−6∣−∣x−a∣. Раскроем модули по определению, для этого воспользуемся числовой прямой.
Нули модулей: x=6 и x=a.
Рассмотрим случай a>6.
1) x⩽6: t=6−x+x−a=6−a. 2) 6<x<a: t=x−6+x−a=2x−6−a. 3) x⩾a: t=x−6−x+a=a−6. В системе Oxt при a>6 построим график функции t=∣x−6∣−∣x−a∣:
Рассмотрим случай a=6: t=∣x−6∣−∣x−6∣=0. Графиком является горизонтальная прямая, совпадающая с осью абсцисс. В этом случае уравнение не может иметь ровно два различных корня.
Рассмотрим случай a<6.
1) x⩽a: t=−x+6+x−a=6−a. 2) a<x<6: t=−x+6−x+a=−2x+6+a. 3) x⩾6: t=x−6−x+a=a−6. В системе Oxt при a<6 построим график функции t=∣x−6∣−∣x−a∣:
Таким образом, при a>6 каждому значению t из промежутка (6−a;a−6) соответствует одно значение x, значениям t=±(6−a) соответствует бесконечное число значений x, а при t<6−a и t>a−6 решений нет.
При a<6 каждому значению t из промежутка (a−6;6−a) соответствует одно значение x, значениям t=±(6−a) соответствует бесконечное число значений x, а при t<a−6 и t>6−a решений нет.
Объединим условия:
1) при t<−∣a−6∣ и t>∣a−6∣ -- решений нет;
2) при t=±∣a−6∣ -- бесконечное число решений;
3) при −∣a−6∣<t<∣a−6∣ -- одно решение.
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, уравнение t2−3at+2a2+a−1=0 должно иметь два различных решения на промежутке (−∣a−6∣;∣a−6∣): ⎩⎨⎧−∣a−6∣<2a−1<∣a−6∣,−∣a−6∣<a+1<∣a−6∣,2a−1=a+1;⎩⎨⎧∣2a−1∣<∣a−6∣,∣a+1∣<∣a−6∣,a=2; ⎩⎨⎧(2a−1−a+6)(2a−1+a−6)<0,(a+1−a+6)(a+1+a−6)<0,a=2;⎩⎨⎧(a+5)(3a−7)<0,7(2a−5)<0,a=2;
