Дан прямой круговой цилиндр. На окружности нижнего основания выбраны
точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1. Отрезок BB1 является образующей цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите величину угла между прямыми BB1 и AC1, если AB=8,BB1=173,B1C1=15.
Решение
а) Пусть C -- проекция точки C1 на нижнее основание (CC1 -- образующая), OO1 -- ось цилиндра. По условию CC1 и OO1 пересекаются, следовательно, AC -- проекция наклонной AC1 и O∈AC. Таким образом AC - диаметр окружности нижнего основания, следовательно, ∠ABC=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр.
BC - проекция, BC1 - наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах BC1⊥AB, так как BC⊥AB. Что и требовалось доказать.
б) Прямые BB1 и CC1 параллельны, значит ∠(BB1;AC1)=∠(CC1;AC1)=∠AC1C, также BB1=CC1=173
По теореме Пифагора △ABC: AC=AB2+BC2=82+152=17. Тогда
tg∠AC1C=CC1AC=17317=31⇒∠AC1C=30∘.
