На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.
а) Докажите, что треугольники AEM и CMK подобны.
б) Найдите отношение AM:MC, если площади треугольников AEM и CMK равны 4 и 9 соответственно.
Решение
а) Обозначим ∠AME=α. Так как треугольник ABC равносторонний, то ∠EAM=60∘. Из треугольника AEM найдём угол AEM: ∠AEM=180∘−∠EAM−∠AME=180∘−60∘−α=120∘−α. Тогда смежный с ним угол BEM равен
180∘−(120∘−α)=60∘+α. Пусть O — точка пересечения серединного перпендикуляра к BM с отрезком BM. Тогда EO⊥BM и BO=OM. Следовательно, треугольник EBM равнобедренный: EB=EM. Аналогично, KO — серединный перпендикуляр, поэтому треугольник BKM равнобедренный: KB=KM.
Треугольники EBK и EMK равны по трём сторонам (EB=EM,KB=KM,EK — общая). Следовательно, ∠EMK=∠EBK=60∘.
В четырёхугольнике BEMK сумма углов равна 360∘, следовательно,
∠EBK+∠BEM+∠EMK+∠BKM=360∘; 60∘+(60∘+α)+60∘+∠BKM=360∘; ∠BKM=180∘−α. Тогда
∠MKC=180∘−∠BKM=180∘−(180∘−α)=α.
Таким образом, в треугольнике CMK получаем: ∠MCK=60∘,∠MKC=α, значит, ∠CMK=120∘−α. Следовательно,
∠AEM=∠CMK=120∘−α,∠AME=∠MKC=α. Значит, треугольники AEM и CMK подобны по двум углам.
б) Площади подобных треугольников AEM и CMK относятся как квадрат коэффициента подобия:
SCMKSAEM=94=(32)2. следовательно, коэффициент подобия равен k=32.
Пусть AM=2x, тогда KC=3x (соответственные стороны в подобных треугольниках). Также из подобия получаем: AE=2y,MC=3y,EM=2z,MK=3z.
Из равнобедренности треугольников EBM и BKM следует, что
EB=EM=2z,BK=MK=3z.
Заметим, что
AB=AE+EB=2y+2z; BC=BK+KC=3z+3x; AC=AM+MC=2x+3y. Так как треугольник ABC равносторонний, его стороны равны, поэтому получаем следующую систему:
{2y+2z=3z+3x,2y+2z=2x+3y. Упростим первое уравнение:
2y+2z=3z+3x⇒2y−3x=z. Упростим второе уравнение:
2y+2z=2x+3y⇒2z−2x=y⇒y=2z−2x.
Подставим y=2z−2x в выражение 2y−3x=z: 2(2z−2x)−3x=z; 4z−4x−3x=z; 4z−7x=z; 3z=7x; z=37x.
Тогда
y=2z−2x=2⋅37x−2x=314x−36x=38x. Находим искомое отношение:
MCAM=3y2x=3⋅38x2x=8x2x=41. Ответ: 41.
