Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

На стороне

A C

равностороннего треугольника

A B C

отмечена точка

M

. Серединный перпендикуляр к отрезку

B M

пересекает стороны

A B

B C

в точках

E

K

соответственно.

а) Докажите, что треугольники

A E M

C M K

подобны.

б) Найдите отношение

A M: M C

, если площади треугольников

A E M

C M K

равны

4

9

соответственно.

Решение

а) Обозначим

\angle AME = \alpha

. Так как треугольник

ABC

равносторонний, то

\angle {EAM} = 60^\circ

. Из треугольника

AEM

найдём угол

AEM

\angle AEM = 180^\circ - \angle {EAM} - \angle AME = 180^\circ - 60^\circ - \alpha = 120^\circ - \alpha.

Тогда смежный с ним угол

BEM

равен

180^\circ - (120^\circ - \alpha) = 60^\circ + \alpha.

Пусть

O

— точка пересечения серединного перпендикуляра к

BM

с отрезком

BM

. Тогда

EO \perp BM

BO = OM

. Следовательно, треугольник

EBM

равнобедренный:

EB = EM

. Аналогично,

KO

— серединный перпендикуляр, поэтому треугольник

BKM

равнобедренный:

KB = KM

$Изображение 1$

Треугольники

EBK

EMK

равны по трём сторонам (

EB = EM

KB = KM

EK

— общая). Следовательно,

\angle EMK = \angle EBK = 60^\circ

.

В четырёхугольнике

BEMK

сумма углов равна

360^{\circ}

, следовательно,

\angle EBK + \angle BEM + \angle EMK + \angle BKM = 360^\circ;

60^\circ + (60^\circ + \alpha) + 60^\circ + \angle BKM = 360^\circ;

\angle BKM = 180^\circ - \alpha.

Тогда

\angle MKC = 180^\circ - \angle BKM = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha.

Таким образом, в треугольнике

CMK

получаем:

\angle MCK = 60^\circ

\angle MKC = \alpha

, значит,

\angle CMK = 120^\circ - \alpha

. Следовательно,

\angle AEM = \angle CMK = 120^\circ - \alpha, \quad \angle AME = \angle MKC = \alpha.

Значит, треугольники

AEM

CMK

подобны по двум углам.

б) Площади подобных треугольников

AEM

CMK

относятся как квадрат коэффициента подобия:

\frac{S_{AEM}}{S_{CMK}} = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^2.

следовательно, коэффициент подобия равен

k = \dfrac{2}{3}

.

Пусть

AM = 2x

, тогда

KC = 3x

(соответственные стороны в подобных треугольниках). Также из подобия получаем:

AE = 2y

MC = 3y

EM = 2z

MK = 3z

.

Из равнобедренности треугольников

EBM

BKM

следует, что

EB = EM = 2z, \quad BK = MK = 3z.

$Изображение 2$

Заметим, что

AB = AE + EB = 2y + 2z;

BC = BK + KC = 3z + 3x;

AC = AM + MC = 2x + 3y.

Так как треугольник

ABC

равносторонний, его стороны равны, поэтому получаем следующую систему:

\begin{cases} 2y + 2z = 3z + 3x, \\ 2y + 2z = 2x + 3y. \end{cases}

Упростим первое уравнение:

2y + 2z = 3z + 3x \quad \Rightarrow \quad 2y - 3x = z.

Упростим второе уравнение:

2y + 2z = 2x + 3y \quad \Rightarrow \quad 2z - 2x = y \quad \Rightarrow \quad y = 2z - 2x.

Подставим

y = 2z - 2x

в выражение

2y - 3x = z

2(2z - 2x) - 3x = z;

4z - 4x - 3x = z;

4z - 7x = z;

3z = 7x;

z = \frac{7x}{3}.

Тогда

y = 2z - 2x = 2 \cdot \dfrac{7x}{3} - 2x = \dfrac{14x}{3} - \dfrac{6x}{3} = \dfrac{8x}{3}.

Находим искомое отношение:

\frac{AM}{MC} = \frac{2x}{3y} = \frac{2x}{3 \cdot \dfrac{8x}{3}} = \frac{2x}{8x} = \frac{1}{4}.

Ответ:

\dfrac{1}{4}

Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи