Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений {ax2+ay2+2ax+(a+2)y+1=0,xy+1=x+y имеет ровно четыре различных решения.
Решение
Преобразуем второе уравнение системы:
xy+1=x+y,xy−x−y+1=0,(x−1)(y−1)=0. Таким образом, система исходная система равносильна
{ax2+ay2+2ax+(a+2)y+1=0,x=1;(1){ax2+ay2+2ax+(a+2)y+1=0,y=1.(2) Выясним при каких a каждая из систем имеет два решения.
(1) Подставим x=1 в первое уравнение:
a⋅12+ay2+2a⋅1+(a+2)y+1=0;ay2+(a+2)y+3a+1=0. При a=0 уравнение является линейным и имеет ровно одно решение y=−21. При a=0 получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если D>0: D=(a+2)2−4a(3a+1)>0;−11a2+4>0;a2<114;a∈(−112;0)∪(0;112). (2) Подставим y=1 в первое уравнение:
ax2+a⋅12+2ax+(a+2)⋅1+1=0;ax2+2ax+2a+3=0. При a=0 уравнение не имеет решений. При a=0 получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если D>0: D=(2a)2−4a(2a+3)>0;−4a2−12a>0;4a(a+3)<0,a∈(−3;0). Прямые x=1 и y=1 пересекаются в точке (1;1), поэтому это единственный возможное решение систем (1) и (2). Выясним, когда это происходит. Подставим (1;1) в первое уравнение исходной системы:
a⋅1+a⋅1+2a⋅1+(a+2)⋅1+1=0;5a+3=0,a=−53. Сравним −53 и −112: −53∨−112;112∨53;114∨259;100>99. Таким образом, −112<−53.
Итак, система имеет ровно четыре различных решения при a∈(−112;−53)∪(−53;0).
