Многочлены и параметр — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

100 параметров 2026ЕГЭ 2018 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0, \\ xy+1 = x+y \end{cases}

имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Преобразуем второе уравнение системы:

xy + 1 = x + y, \quad xy - x - y + 1 = 0, \quad (x-1)(y-1) = 0.

Таким образом, система исходная система равносильна

\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0,\\ x = 1; \end{cases} \; (1) \\ &\begin{cases} ax^2 + ay^2 + 2ax + (a+2)y + 1 = 0,\\ y = 1. \end{cases} \; (2) \end{aligned} \right.

Выясним при каких

a

каждая из систем имеет два решения.

(1) Подставим

x = 1

в первое уравнение:

a \cdot 1^2 + a y^2 + 2a \cdot 1 + (a+2)y + 1 = 0; \\ a y^2 + (a+2)y + 3a + 1 = 0.

При

a = 0

уравнение является линейным и имеет ровно одно решение

y = -\dfrac{1}{2}

.
При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = (a+2)^2 - 4a(3a+1) > 0;\\[0.5em] -11a^2 + 4 > 0;\\[0.5em] a^2 < \frac{4}{11};\\[0.5em] a\in \left(-\dfrac{2}{\sqrt{11}}; 0\right)\cup \left(0; \dfrac{2}{\sqrt{11}}\right).

(2) Подставим

y = 1

в первое уравнение:

a x^2 + a \cdot 1^2 + 2a x + (a+2)\cdot 1 + 1 = 0;\\[0.5em] a x^2 + 2a x + 2a + 3 = 0.

При

a = 0

уравнение не имеет решений. При

a \neq 0

получаем квадратное уравнение. Оно имеет два различных решения, если

D > 0

D = (2a)^2 - 4a(2a+3) > 0;\\[0.5em] -4a^2 - 12a > 0;\\[0.5em] 4a(a+3) < 0, \quad a \in (-3; 0).

Прямые

x = 1

y = 1

пересекаются в точке

(1; 1)

, поэтому это единственный возможное решение систем (1) и (2). Выясним, когда это происходит. Подставим

(1; 1)

в первое уравнение исходной системы:

a \cdot 1 + a \cdot 1 + 2a \cdot 1 + (a+2) \cdot 1 + 1 = 0; \\[0.5em]5a + 3 = 0, \ \quad a = -\frac{3}{5}.

Сравним

-\dfrac{3}{5}

-\dfrac{2}{\sqrt{11}}

-\dfrac{3}{5} \vee -\dfrac{2}{\sqrt{11}};\\[0.5em] \dfrac{2}{\sqrt{11}} \vee \dfrac{3}{5};\\[0.5em] \dfrac{4}{11} \vee \dfrac{9}{25};\\[0.5em] 100 > 99.

Таким образом,

-\dfrac{2}{\sqrt{11}} < -\dfrac{3}{5}

Итак, система имеет ровно четыре различных решения при

a \in \left( -\dfrac{2}{\sqrt{11}}; -\dfrac{3}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{3}{5}; 0 \right)

.

Ответ:

\left( -\dfrac{2}{\sqrt{11}}; -\dfrac{3}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{3}{5}; 0 \right)

Похожие задачи