Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -\dfrac{5\pi}{2}; -\pi \right]

Решение

а) Воспользуемся формулой синуса суммы:

\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x.

Получаем:

2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3};

\sqrt{3} \sin x + \cos x - 2\sqrt{3} \cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3};

\sqrt{3} \sin x - 2\sqrt{3} \cos^2 x = - 2\sqrt{3}.

Разделим обе части уравнения на

\sqrt{3}

\sin x - 2\cos^2 x = -2.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\sin x - 2(1 - \sin^2 x) = -2;

\sin x - 2 + 2\sin^2 x = -2;

\sin x + 2\sin^2 x = 0;

\sin x (1 + 2\sin x) = 0.

Получаем:

\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ 1 + 2\sin x = 0. \end{array} \right. \;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0,\\ \sin x = -\dfrac{1}{2}. \end{array} \right.\;\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \pi k,\\[2mm] x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[2mm] x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-\dfrac{5\pi}{2}; -\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

-\frac{13\pi}{6},\ -2\pi,\ -\pi.

Ответ: а)

\pi k,\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{13\pi}{6},\ -2\pi,\ -\pi

Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи