а) Воспользуемся формулой синуса суммы:
sin(x+6π)=sinxcos6π+cosxsin6π=23sinx+21cosx. Получаем:
2(23sinx+21cosx)−23cos2x=cosx−23; 3sinx+cosx−23cos2x=cosx−23; 3sinx−23cos2x=−23. Разделим обе части уравнения на 3: sinx−2cos2x=−2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
sinx−2(1−sin2x)=−2; sinx−2+2sin2x=−2; sinx+2sin2x=0; sinx(1+2sinx)=0. Получаем:
[sinx=0,1+2sinx=0.⇔[sinx=0,sinx=−21.⇔x=πk,x=−6π+2πk,x=−65π+2πk,k∈Z.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−25π;−π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
−613π,−2π,−π. Ответ: а) πk,−6π+2πk,−65π+2πk,k∈Z; б) −613π,−2π,−π.
