В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, на окружности другого основания – точки B1 и C1, причём BB1 – образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите угол между прямыми BB1 и AC1, если AB=10,BB1=7,B1C1=24.
Решение
а) Пусть O и O1 соответственно центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, K - точка пересечения AC1 и OO1. Построим плоскость, содержащую прямые AC1 и OO1, пусть эта плоскость пересекает верхнее и нижнее основания в точках A1 и C соответственно.
Отрезок AC пересекает ось цилиндра, значит он содержит центр окружности основания цилиндра, то есть является диаметром, следовательно, ∠ABC=90∘ как угол, опирающийся на диаметр.
Так как CC1 - перпендикуляр к плоскости нижнего основания, то C1B - наклонная, CB - проекция наклонной C1B на плоскость нижнего основания, тогда по теореме о трёх перпендикулярах C1B⊥AB. б) Прямые BB1 и CC1 параллельны, значит ∠(BB1;AC1)=AC1C, также BB1=CC1=7
По теореме Пифагора △ABC: AC=AB2+BC2=102+242=26 Тогда
tg∠AC1C=CC1AC=726⇒∠AC1C=arctg726
