Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
(2x+a+1+tgx)2=(2x+a−1−tgx)2 имеет единственное решение на отрезке [−2π;2π].
Решение
Воспользуемся формулой разности квадратов:
(2x+a+1+tgx)2−(2x+a−1−tgx)2=0; (2x+a+1+tgx−2x−a+1+tgx)(2x+a+1+tgx+2x+a−1−tgx)=0; (2tgx+2)(4x+2a)=0; ⎩⎨⎧tgx=−1,x=−2a,cosx=0;⎩⎨⎧x=−4π+πk,k∈Z,x=−2a,x=2π+πn,n∈Z. Выясним, сколько решений на отрезке [−2π;2π] имеет уравнение с учётом ограничения x=2π+πn,n∈Z. 1 случай:
x=−4π+πk,k∈Z. Отрезку [−2π;2π] принадлежит только x=−4π. \par \medskip
Этот корень всегда принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничению.
2 случай:
x=−2a. Найдём, при каких a корень x=−2a принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничениям:
⎩⎨⎧−2π≤−2a≤2π,−2a=−2π,−2a=2π;⎩⎨⎧−π≤a≤π,a=π,a=−π;a∈(−π;π). Рассмотрим совпадение корней x=−2a и x=−4π:−4π=−2a,a=2π.
Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно один корень:
Получаем, что ровно один корень будет при a∈(−∞;−π]∪{2π}∪[π;+∞).
