Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=\dfrac{x^{4}-25x^{2}+144}{(x-4)(x+3)}.

Определите, при каких значениях

c

прямая

y=c

имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение

Функция определена при

x\neq -3

x\neq 4

.

Разложим на множители выражение в числителе функции:

x^{4}-25x^{2}+144=(x^{2}-16)(x^{2}-9)=(x-4)(x+4)(x-3)(x+3).

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

y\mathrel{=}

Таким образом, исходная функция представляет собой параболу с выколотыми точками.

Для нахождения координат выколотых точек подставим запрещённые абсциссы в формулу

y=x^{2}+x-12

y(-3)=(-3)^2+(-3)-12=-6.

y(4)=4^2+4-12=8.

Следовательно, выколотые точки:

(-3; -6)

(4; 8)

.

Для параболы

y=x^{2} + x - 12

имеем

a=1

b=1

c=-12

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2\cdot(1)}=-0{,}5.

y_0=1\cdot(-0{,}5)^2+1\cdot(-0{,}5)-12=-12{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-0{,}5; -12{,}25)

.

Таблица значений для

y=x^{2} + x - 12

(с учетом выколотых точек):

График функции:

Прямая

y=c

— горизонтальная прямая. Ровно одна общая точка получается на уровне вершины параболы и на уровнях выколотых точек.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно одну общую точку при

c \in \{-12{,}25\} \cup \{-6\} \cup\{8\}

Сокращение дробей и выколотые точки — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи