В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение
а)
Так как искомое сечение параллельно прямым AC и BD, то оно будет пересекать плоскости, в которых лежат прямые AC и BD, по прямым, соответственно параллельным этим двум. Отсюда вытекает построение сечения.
1) Проведём через точку T (грань ACD) прямую, параллельную AC; она пересекает ребро CD в точке L. 2) Проведём через точку T (грань ABD) прямую, параллельную BD; она пересекает ребро AB в точке K. 3) Проведём через точку K (грань ABC) прямую, параллельную AC, она пересекает ребро BC в точке F. Получаем, что четырёхугольник TKFL -- искомое сечение.
4) Из построения ясно, что TL∥AC∥KF и TK∥BD. Имеем: BD∥(TKL),BD⊂(BCD),(TKL)∩(BCD)=LF, значит, LF∥BD по свойству параллельных прямой и плоскости, следовательно, LF∥TK и TKFL -- параллелограмм.
5) Проведём высоты DH и BH в равнобедренных треугольниках ADC и ABC соответственно. Отрезки DH и BH также будут и медианами, поэтому H -- середина стороны AC основания.
6) Тогда AC⊥DH и AC⊥BH, откуда получаем, что AC⊥(BDH).
7) Так как AC∥KF, то KF⊥(BDH), следовательно, KF будет перпендикулярна любой прямой плоскости BDH, в том числе, прямой BD.
8) Выше получили, что KF⊥BD, а BD∥TK, тогда KF⊥TK и TKFL -- прямоугольник, ч.т.д.
б)
1) ∠A -- общий угол для △ATK и △ADB, а ∠ATK=∠ADB как соответственные при TK∥BD и секущей AD, следовательно, △ATK∼△ADB. 2) Тогда BDTK=ABAK=ADAT=32⇒TK=32BD=32⋅5=310, а AK=32AB. Значит, BK=AB−AK=31AB. 3) ∠B -- общий угол для △BKF и △BAC, а ∠BKF=∠BAC как соответственные при KF∥AC и секущей AB, следовательно, △BKF∼△BAC.
4) Из подобия получаем, что ACKF=ABKB=31⇒KF=31AC=31⋅6=2. 5) Тогда STKFL=TK⋅KF=310⋅2=320. \par \medskip
Ответ: б) 320
