Логарифмические неравенства — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

НеравенстваЕГЭ 2025 (досрок)

Решите неравенство

7\log_3{(x^2-7x+12)}\leqslant 8+\log_3{\dfrac{(x-3)^7}{x-4}}.

Решение

Запишем ограничения на неравенство:

\begin{cases} x^2 - 7x + 12 > 0,\\[2mm] \dfrac{(x - 3)^7}{x - 4} > 0. \end{cases} \Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x - 3)(x - 4) > 0,\\[2mm] \dfrac{x - 3}{x - 4} > 0. \end{cases}

x \in (-\infty; 3)\cup (4; +\infty).

По свойствам логарифма получаем:

\log_3{\left((x - 3)^7(x - 4)^7\right)}\leqslant \log_3{\left(3^8\cdot \dfrac{(x-3)^7}{x-4}\right)};

Из монотонного возрастания функции

f(t) = \log_3{t}

получаем:

(x - 3)^7(x - 4)^7 \leqslant 3^8\cdot \dfrac{(x-3)^7}{x-4};

(x - 3)^7\left((x - 4)^7 - \dfrac{3^8}{x - 4}\right) \leqslant 0;

(x - 3)^7\left(\dfrac{(x - 4)^8 - 3^8}{x - 4}\right) \leqslant 0;

\left.\dfrac{(x - 3)^7((x - 4)^4 - 3^4)((x - 4)^4 + 3^4)}{x - 4} \leqslant 0; \quad \right|\;: (x - 4)^4 + 3^4 > 0

\left.\dfrac{(x - 3)^7((x - 4)^2 - 3^2)((x - 4)^2 + 3^2)}{x - 4} \leqslant 0; \quad \right|\;: (x - 4)^2 + 2^4 > 0

\dfrac{(x - 3)^7(x - 7)(x - 1)}{x - 4} \leqslant 0.

Из метода интервалов, с учётом ограничений, получаем:

x \in [1;3)\cup (4;7].

Ответ:

[1;3)\cup (4;7]

Похожие задачи