Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Условие, ответ и разбор задачи

Функции и их свойства. Графики функций

Постройте график функции

y=x|x| - |x|-2x.

Определите, при каких значениях

m

прямая

y=m

имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение

Функция содержит модуль. Найдём нуль подмодульного выражения:

x=0

.

Раскрываем модуль на промежутках.

Случай

1

x<0

, тогда

|x|=-x

.
Получаем

y=- x^{2} - x

.

Случай

2

x\geqslant 0

, тогда

|x|=x

.
Получаем

y=x^{2} - 3 x

.

Таким образом, график состоит из двух параболических ветвей:

y=\begin{cases}- x^{2} - x, & x<0,\\x^{2} - 3 x, & x\geqslant 0.\end{cases}

В граничной точке

x=0

проверим значения обеих формул:

y_1(0)=- 0^{2} - 0=0,\qquad y_2(0)=0^{2} - 3\cdot 0=0.

Обе формулы дают одно и то же значение, поэтому граничная точка

(0; 0)

принадлежит графику один раз.
Для левой ветви

y=- x^{2} - x

имеем

a=-1

b=-1

c=0

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2\cdot(-1)}=-0{,}5.

y_0=-1\cdot(-0{,}5)^2-1\cdot(-0{,}5)+0=0{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(-0{,}5; 0{,}25)

.

Таблица значений для левой ветви:

Для правой ветви

y=x^{2} - 3 x

имеем

a=1

b=-3

c=0

. Координаты вершины вычисляем по формулам:

x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-3}{2\cdot(1)}=1{,}5.

y_0=1\cdot(1{,}5)^2-3\cdot(1{,}5)+0=-2{,}25.

Следовательно, вершина имеет координаты

(1{,}5; -2{,}25)

.

Таблица значений для правой ветви:

График функции:

Прямая

y=m

— горизонтальная прямая. Число общих точек меняется на уровнях вершин ветвей и в граничной точке перехода между участками графика.

График для анализа значений параметра:

Прямая имеет с графиком ровно две общие точки при

m \in \{-2{,}25\} \cup\{0{,}25\}

Графики функций с модулем — задача ОГЭ по математике

Похожие задачи