Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Уравнения
ФИПИ
Скопировать ссылку
53cbb98f
а) Решите уравнение
cos
2
x
+
cos
(
−
x
)
=
0.
\cos 2x + \cos(-x) = 0.
cos
2
x
+
cos
(
−
x
)
=
0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[
−
7
π
2
;
−
2
π
]
\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]
[
−
2
7
π
;
−
2
π
]
.
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
а) Используем формулу косинуса двойного угла и чётность косинуса:
2
cos
2
x
−
1
+
cos
x
=
0
;
2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0;
2
cos
2
x
−
1
+
cos
x
=
0
;
2
cos
2
x
+
cos
x
−
1
=
0.
2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0.
2
cos
2
x
+
cos
x
−
1
=
0.
Сделаем замену
t
=
cos
x
t = \cos x
t
=
cos
x
:
2
t
2
+
t
−
1
=
0.
2t^2 + t - 1 = 0.
2
t
2
+
t
−
1
=
0.
Решим полученное квадратное уравнение:
D
=
1
+
8
=
9
=
3
;
\sqrt{D} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3;
D
=
1
+
8
=
9
=
3
;
t
1
,
2
=
−
1
±
3
4
;
t_{1, 2} = \dfrac{-1 \pm 3}{4};
t
1
,
2
=
4
−
1
±
3
;
t
1
=
−
1
−
3
4
=
−
1
,
t
2
=
−
1
+
3
4
=
1
2
.
t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1,\quad t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.
t
1
=
4
−
1
−
3
=
−
1
,
t
2
=
4
−
1
+
3
=
2
1
.
Сделаем обратную замену:
[
cos
x
=
−
1
,
cos
x
=
1
2
.
⇔
[
x
=
π
+
2
π
k
,
x
=
±
π
3
+
2
π
k
,
k
∈
Z
.
\left[
\begin{array}{l}
\cos x = -1,\\
\cos x = \dfrac{1}{2}.
\end{array}
\right.
\;\Leftrightarrow\;
\left[
\begin{array}{l}
x = \pi + 2\pi k,\\
x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}.
\end{array}
\right.
[
cos
x
=
−
1
,
cos
x
=
2
1
.
⇔
[
x
=
π
+
2
πk
,
x
=
±
3
π
+
2
πk
,
k
∈
Z
.
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку
[
−
7
π
2
;
−
2
π
]
\left[ -\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi \right]
[
−
2
7
π
;
−
2
π
]
,
с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
−
3
π
,
−
7
π
3
.
-3\pi,\ -\frac{7\pi}{3}.
−
3
π
,
−
3
7
π
.
Ответ: а)
±
π
3
+
2
π
k
,
π
+
2
π
k
,
k
∈
Z
\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \pi + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}
±
3
π
+
2
πk
,
π
+
2
πk
,
k
∈
Z
;
б)
−
3
π
,
−
7
π
3
-3\pi,\ -\dfrac{7\pi}{3}
−
3
π
,
−
3
7
π
.
