Показательное уравнение с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры

ФИПИ

Найдите все значения

a

, для каждого из которых уравнение

4^x+(a-6)2^x=(2+3|a|)2^x+(a-6)(3|a|+2)

имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем уравнение:

4^x + (a - 6)2^x - (2 + 3|a|)2^x - (a - 6)(3|a| + 2) = 0;\\ 2^x(2^x + (a - 6)) - (3|a| + 2)(2^x + (a - 6)) = 0;\\ (2^x + (a - 6))(2^x - (3|a| + 2)) = 0.

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:

\left[ \begin{aligned} &2^x = -a + 6, \\ &2^x = 3|a| + 2. \end{aligned} \right.

Рассмотрим первое уравнение. Так как

2^x > 0

при любом

x

, то уравнение имеет решение только при

6 - a > 0

, то есть при

a < 6

. При этом решение единственно, поскольку функция

y = 2^x

строго монотонна.

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку

3|a| + 2 > 0

при любом

a

, это уравнение всегда имеет единственное решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение в следующих случаях:

1) Значения

6 - a

3|a| + 2

совпадают:

6 - a = 3|a| + 2 \quad\Rightarrow\quad 3|a| + a - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} a = -2,\\ a = 1. \end{array} \right.

2) Первое уравнение совокупности не имеет решений. Это происходит при

a\in [6; +\infty)

.

Ответ:

\{-2; 1\} \cup [6; +\infty)

Похожие задачи