Банк Задач
Школьник
Студент
Учитель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

Параметры
ФИПИ
Найдите все значения aaa, для каждого из которых уравнение
4x+(a−6)2x=(2+3∣a∣)2x+(a−6)(3∣a∣+2)4^x+(a-6)2^x=(2+3|a|)2^x+(a-6)(3|a|+2)4x+(a−6)2x=(2+3∣a∣)2x+(a−6)(3∣a∣+2) имеет единственное решение.

Решение

Преобразуем уравнение:
4x+(a−6)2x−(2+3∣a∣)2x−(a−6)(3∣a∣+2)=0;2x(2x+(a−6))−(3∣a∣+2)(2x+(a−6))=0;(2x+(a−6))(2x−(3∣a∣+2))=0.4^x + (a - 6)2^x - (2 + 3|a|)2^x - (a - 6)(3|a| + 2) = 0;
\\
2^x(2^x + (a - 6)) - (3|a| + 2)(2^x + (a - 6)) = 0;
\\
(2^x + (a - 6))(2^x - (3|a| + 2)) = 0.4x+(a−6)2x−(2+3∣a∣)2x−(a−6)(3∣a∣+2)=0;2x(2x+(a−6))−(3∣a∣+2)(2x+(a−6))=0;(2x+(a−6))(2x−(3∣a∣+2))=0.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности:
[2x=−a+6,2x=3∣a∣+2.\left[
\begin{aligned}
&2^x = -a + 6, \\
&2^x = 3|a| + 2.
\end{aligned}
\right.[​2x=−a+6,2x=3∣a∣+2.​
Рассмотрим первое уравнение. Так как 2x>02^x > 02x>0 при любом xxx, то уравнение имеет решение только при 6−a>06 - a > 06−a>0, то есть при a<6a < 6a<6. При этом решение единственно, поскольку функция y=2xy = 2^xy=2x строго монотонна.

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку 3∣a∣+2>03|a| + 2 > 03∣a∣+2>0 при любом aaa, это уравнение всегда имеет единственное решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение в следующих случаях:

1) Значения 6−a6 - a6−a и 3∣a∣+23|a| + 23∣a∣+2 совпадают:
6−a=3∣a∣+2⇒3∣a∣+a−4=0⇒[a=−2,a=1.6 - a = 3|a| + 2 \quad\Rightarrow\quad 3|a| + a - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
a = -2,\\
a = 1.
\end{array}
\right.6−a=3∣a∣+2⇒3∣a∣+a−4=0⇒[a=−2,a=1.​
2) Первое уравнение совокупности не имеет решений. Это происходит при a∈[6;+∞)a\in [6; +\infty)a∈[6;+∞).

Ответ: {−2;1}∪[6;+∞)\{-2; 1\} \cup [6; +\infty){−2;1}∪[6;+∞).