Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB=24,BC=7. Боковые рёбра SA=51,SB=627,SD=10. а) Докажите, что SA -- высота пирамиды.
б) Найдите угол между SC и BD.
Решение
а) Для △SAD выполняется обратная теорема Пифагора:
AD2+AS2=SD2,72+(51)2=102. Следовательно, SA⊥AD. Для △SAB выполняется обратная теорема Пифагора:
AB2+AS2=SB2,242+(51)2=(627)2. Следовательно, SA⊥AB. Получили, что SA⊥AD и SA⊥AB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости SA⊥(ABD), то есть SA -- высота пирамиды, ч.т.д.
б) Пусть диагонали основания пересекаются в точке O, тогда по свойству квадрата AO=OC. Через центр основания O проведём прямую, параллельную ребру SC,OF∥SC, где F∈AS. Тогда по обобщённой теореме Фалеса OCAO=FSAF, значит, F -- середина AS и FO -- средняя линия в треугольнике ASC.
Получаем, что ∠(SC;BD)=∠(FO;OD)=∠FOD=α -- искомый.
По теореме Пифагора в △ABD: AD2+AB2=BD2,BD=AD2+AB2=72+242=625=25. Тогда DO=21AC=225=12,5. \par \medskip
По теореме Пифагора в △AFD: AD2+AF2=FD2,FD=AD2+AF2=AD2+(2AS)2=72+451=2247. По теореме Пифагора в △SAC: AC2+AS2=SC2,SC=AC2+AS2=252+(51)2=625+51=26. Тогда FD=21SC=226=13. По теореме косинусов в △FOD: DF2=DO2+OF2−2DO⋅OFcosα; 4247=12,52+132−2⋅12,5⋅13cosα,4247=4625+169−25⋅13cosα; 247=625+676−1300cosα,1054=1300cosα,cosα=650527,α=arccos650527. Ответ: arccos650527.
б) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, ось Ox направим вдоль ребра AD, ось Oy направим вдоль ребра AB, ось Oz направим вдоль ребра AS.
В этой системе отсчёта верны координаты
D(7;0;0);B(0;24;0);BD(−7;24;0); S(0;0;51);C(7;24;0);SC(7;24;−51). Пусть φ -- искомый угол. По формуле косинуса угла между прямыми получим
cosφ=∣BD∣⋅∣SC∣∣BD⋅SC∣=(−7)2+242+02⋅72+242+(−51)2∣−7⋅7+24⋅24+0⋅(−51)∣=25⋅26576−49=650527. Таким образом, $\varphi= \arccos \dfrac{527}{650}.
