Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГЭ 2024 (резерв)

Основанием четырёхугольной пирамиды

SABCD

является прямоугольник со сторонами

AB=24

BC=7

. Боковые рёбра

SA=\sqrt{51}, SB=\sqrt{627},\, SD=10

.
а) Докажите, что

SA

— высота пирамиды.
б) Найдите угол между

SC

BD

Решение

а) Для

\triangle SAD

выполняется обратная теорема Пифагора:

AD^2 + AS^2 = SD^2, \quad 7^2 + \left(\sqrt{51}\right)^2 = 10^2.

Следовательно,

SA \perp AD

.
Для

\triangle SAB

выполняется обратная теорема Пифагора:

AB^2 + AS^2 = SB^2, \quad 24^2 + \left(\sqrt{51}\right)^2 = \left(\sqrt{627}\right)^2.

Следовательно,

SA \perp AB

.
Получили, что

SA \perp AD

SA \perp AB

, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

SA \perp (ABD)

, то есть

SA

— высота пирамиды, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Пусть диагонали основания пересекаются в точке

O

, тогда по свойству квадрата

AO = OC

.
Через центр основания

O

проведём прямую, параллельную ребру

SC

OF \parallel SC

, где

F\in AS

. Тогда по обобщённой теореме Фалеса

\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AF}{FS}

, значит,

F

— середина

AS

FO

— средняя линия в треугольнике

ASC

.

Получаем, что

\angle (SC; BD) = \angle (FO; OD) = \angle FOD = \alpha

— искомый.

$Изображение 2$

По теореме Пифагора в

\triangle ABD

AD^2 + AB^2 = BD^2, \quad BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25.

Тогда

DO = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{25}{2} = 12,5

.
По теореме Пифагора в

\triangle AFD

AD^2 + AF^2 = FD^2, \quad FD = \sqrt{AD^2 + AF^2} = \sqrt{AD^2 + \left(\dfrac{AS}{2}\right)^2} = \sqrt{7^2 + \dfrac{51}{4}} = \dfrac{\sqrt{247}}{2}.

По теореме Пифагора в

\triangle SAC

AC^2 + AS^2 = SC^2, \quad SC = \sqrt{AC^2 + AS^2} = \sqrt{25^2 + \left(\sqrt{51}\right)^2} = \sqrt{625 + 51} = 26.

Тогда

FO = \dfrac{1}{2}SC =\dfrac{26}{2} = 13

.
По теореме косинусов в

\triangle FOD

DF^2 = DO^2 + OF^2 -2DO \cdot OF\cos \alpha;

\dfrac{247}{4} = 12,5^2 + 13^2 -2\cdot 12,5 \cdot 13\cos \alpha, \quad \dfrac{247}{4} = \dfrac{625}{4} + 169 - 25 \cdot 13\cos \alpha;

247 = 625 + 676- 1300\cos \alpha, \quad 1054 = 1300\cos \alpha, \quad \cos \alpha = \dfrac{527}{650}, \quad \alpha = \arccos \dfrac{527}{650}.

Ответ:

\arccos \dfrac{527}{650}.

б) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке

A

, ось

Ox

направим вдоль ребра

AD

, ось

Oy

направим вдоль ребра

AB

, ось

Oz

направим вдоль ребра

AS

.

В этой системе отсчёта верны координаты

D(7;0;0); \quad B(0;24;0); \quad \overrightarrow{BD}(-7;24;0);

S(0;0;\sqrt{51}); \quad C(7;24;0); \quad \overrightarrow{SC}(7;24;-\sqrt{51}).

Пусть

\varphi

-- искомый угол. По формуле косинуса угла между прямыми получим

\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{SC}| }{|\overrightarrow{BD}|\cdot|\overrightarrow{SC}|}=\dfrac{|-7\cdot7+24\cdot 24+0\cdot (-\sqrt{51})|}{\sqrt{(-7)^2+24^2+0^2}\cdot\sqrt{7^2+24^2+\left(-\sqrt{51}\right)^2}}=\dfrac{576-49}{25\cdot 26}=\dfrac{527}{650}.

Таким образом,

\varphi= \arccos \dfrac{527}{650}

$Изображение 3$

Пирамиды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи