Биссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO,CN=NO.
а) Докажите, что точки M,O и N лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение AM:MB, если AO=CO и BC:AD=17:31.
Решение
а) Треугольник AMO равнобедренный (AM=MO), поэтому:
∠MOA=∠MAO=∠OAD. Углы MOA и OAD являются накрест лежащими при прямых MO и AD и секущей AO, следовательно, MO∥AD.
Треугольник CNO равнобедренный (CN=NO), поэтому:
∠CON=∠NCO=∠BCO. Углы CON и BCO являются накрест лежащими при прямых ON и BC и секущей CO, следовательно, ON∥BC.
В трапеции BC∥AD, значит, MO∥AD и ON∥AD. Прямые MO и ON параллельны AD и имеют общую точку O, поэтому они совпадают. Таким образом, точки M,O,N лежат на одной прямой.
б) По обобщённой теореме Фалеса получаем:
ABMB=CDCN. Так как AB=CD, то MB=CN. Аналогично верно, что AM=ND.
Из точки O опустим перпендикуляр OH на основание AD. Также из точки C опустим перпендикуляры CL и CP на прямые MN и AD соответственно. Заметим, что OH=LP.
Трапеция является равнобедренной, поэтому ∠ABC=∠BCD. Вместе с тем,\\ ∠BAD+∠ABC=180∘, значит,
∠BAD+∠BCD=180∘. Так как AO и CO — биссектрисы, то:
∠OAD+∠OCB=2∠BAD+∠BCD=2180∘=90∘. Пусть ∠OAD=α, тогда ∠OCB=90∘−α. В прямоугольном треугольнике OLC получаем: ∠OCL=α.
Прямоугольные треугольники AHO и OCL имеют равные гипотенузы (AO=CO) и равные острые углы (∠OAH=α=∠OCL). Значит, эти треугольники равны, откуда:
AH=CL,OH=OL. Тогда OLPH — квадрат. Следовательно, AP=CP.
