Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Планиметрия

ФИПИ

Биссектрисы углов

B A D

B C D

равнобедренной трапеции

A B C D

пересекаются в точке

O

. На боковых сторонах

A B

C D

отмечены точки

M

N

соответственно так, что

AM=MO, CN=NO

.

а) Докажите, что точки

M, O

N

лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение

A M:M B

, если

A O=C O

BC:AD=17:31

Решение

$Изображение 1$

а) Треугольник

AMO

равнобедренный (

AM = MO

), поэтому:

\angle MOA = \angle MAO = \angle OAD.

Углы

MOA

OAD

являются накрест лежащими при прямых

MO

AD

и секущей

AO

, следовательно,

MO \parallel AD

.

Треугольник

CNO

равнобедренный (

CN = NO

), поэтому:

\angle CON = \angle NCO = \angle BCO.

Углы

CON

BCO

являются накрест лежащими при прямых

ON

BC

и секущей

CO

, следовательно,

ON \parallel BC

.

В трапеции

BC \parallel AD

, значит,

MO \parallel AD

ON \parallel AD

. Прямые

MO

ON

параллельны

AD

и имеют общую точку

O

, поэтому они совпадают. Таким образом, точки

M, O, N

лежат на одной прямой.

б) По обобщённой теореме Фалеса получаем:

\frac{MB}{AB} = \frac{CN}{CD}.

Так как

AB = CD

, то

MB = CN

. Аналогично верно, что

AM = ND

.

Из точки

O

опустим перпендикуляр

OH

на основание

AD

. Также из точки

C

опустим перпендикуляры

CL

CP

на прямые

MN

AD

соответственно. Заметим, что

OH = LP

.

Трапеция является равнобедренной, поэтому

\angle{ABC} = \angle{BCD}

. Вместе с тем,\\

\angle{BAD} + \angle ABC = 180^\circ

, значит,

\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ.

Так как

AO

CO

— биссектрисы, то:

\angle OAD + \angle OCB = \dfrac{\angle BAD + \angle BCD}{2} = \dfrac{180^{\circ}}{2} = 90^\circ.

Пусть

\angle OAD = \alpha

, тогда

\angle OCB = 90^\circ - \alpha

. В прямоугольном треугольнике

OLC

получаем:

\angle{OCL} = \alpha

.

Прямоугольные треугольники

AHO

OCL

имеют равные гипотенузы (

AO = CO

) и равные острые углы (

\angle OAH = \alpha = \angle OCL

). Значит, эти треугольники равны, откуда:

AH = CL, \quad OH = OL.

Тогда

OLPH

— квадрат. Следовательно,

AP = CP

.

Пусть

BC = 17x

AD = 31x

. Тогда:

PD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{31x - 17x}{2} = 7x;

AP = AD - PD = 31x - 7x = 24x = CP.

$Изображение 2$

По обощённой теореме Фалеса получаем:

\frac{AM}{MB} = \frac{DN}{NC} = \frac{PL}{LC} = \frac{OL}{LC} = \operatorname{tg}\alpha.

Из треугольника

CPD

получаем:

\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{CP}{PD} = \frac{24x}{7x} = \frac{24}{7}.

Используем формулу:

\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{24}{7}.

Пусть

t = \operatorname{tg}\alpha

, тогда:

\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{24}{7} \quad \Rightarrow \quad 14t = 24 - 24t^2 \quad \Rightarrow \quad 24t^2 + 14t - 24 = 0.

Решим квадратное уравнение

24t^2 + 14t - 24 = 0;

\sqrt{D} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25.

Положительный корень:

t = \frac{-7 + 25}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}.

Таким образом,

\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{3}{4}

.

Ответ:

\dfrac{3}{4}

Трапеции — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи