В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах А1В1,В1С1, и ВС отмечены точки М,К и N соответственно, причём В1К:КС1=1:5. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 3. а) Докажите, что точка N — середина ребра ВС. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 72, а высота призмы равна 4.
Решение
а) Так как ABC∥A1B1C1, то MK∥AN,MK=4,AN=7 -- основания равнобедренной трапеции AMKN (AM=KN).
△ABN∼△MB1K по двум углам: ∠B=∠B1,∠BAN=∠B1MK, следовательно,
B1KBN=MKAN=47. Пусть B1K=4x,KC1=10x, тогда B1C1=14x. Значит,
BN=47B1K=47⋅4x=7x, NC=BC−BN=14x−7x=7x. Таким образом, BN=NC. Что и требовалось доказать.
б) Проведём KH⊥BC и HT⊥AN, тогда
KH=CC1=3,BH=B1K=4x,HN=3x. Так как KH⊥ABC, то HT - проекция KT на плоскость ABC, тогда по теореме о трёх перпендикулярах:
HT⊥AN⇔KT⊥AN, то есть KT -- высота трапеции AMKN.
По условию Vпризмы=SABCDh=42;3SABCD=42;SABCD=14. Пусть hA -- высота △AHN, опущенная из вершины A, тогда найдём SAHN: SABCDSAHN=14x⋅hA21⋅3x⋅hA=283⇒SAHN=283SABCD=23.
С другой стороны:
SAHN=21⋅AN⋅HT=23;21⋅7⋅HT=23;HT=73. По теореме Пифагора в △KHT: KT=KH2+HT2=9+499=34950=7152. Таким образом,
SAMKN=2MK+AN⋅KT=211⋅7152=141652.
