Для студентов Для учителей

Призмы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияСтатГрад 19.12.2024

В основании прямой призмы

ABCDA_1B_1C_1D_1

лежи параллелограмм

ABCD

. На рёбрах

A_1B_1

,

B_1C_1

и

BC

отмечены точки

M

,

K

и

N

соответственно, причём

B_1K : KC_1 = 2:5

. Четырёхугольник

AMKN

-- равнобедренная трапеция с основаниями

4

и

7

.
а) Докажите, что точка

N

-- середина ребра

BC

.
б) Найдите площадь трапеции

AMKN

, если объём призмы равен

42

, а высота призмы равна

3

.

Решение

а) Так как

ABC \parallel A_1B_1C_1

, то

MK \parallel AN

,

MK = 4

,

AN= 7

-- основания равнобедренной трапеции

AMKN

(

AM = KN

).

\triangle ABN \sim \triangle MB_1K

по двум углам:

\angle B = \angle B_1, \ \angle BAN = \angle B_1MK

, следовательно,

\dfrac{BN}{B_1K}=\dfrac{AN}{MK}= \dfrac{7}{4}.

Пусть

B_1K = 4x, KC_1 = 10x

, тогда

B_1C_1 = 14x

. Значит,

BN = \dfrac{7}{4}B_1K = \dfrac{7}{4}\cdot 4x = 7x,

NC = BC - BN = 14x-7x = 7x.

Таким образом,

BN =NC

. Что и требовалось доказать.

б) Проведём

KH \perp BC

и

HT \perp AN

, тогда

KH =CC_1=3, \ BH = B_1K = 4x, \ HN = 3x.

Так как

KH \perp ABC

, то

HT

- проекция

KT

на плоскость

ABC

, тогда по теореме о трёх перпендикулярах:

HT \perp AN \Leftrightarrow KT \perp AN,

то есть

KT

-- высота трапеции

AMKN

.

По условию

V_{призмы} = S_{ABCD} h=42;\\3S_{ABCD}=42;\\S_{ABCD} =14.

Пусть

h_A

-- высота

\triangle AHN

, опущенная из вершины

A

, тогда найдём

S_{AHN}:

\dfrac{S_{AHN}}{S_{ABCD}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot 3x\cdot h_A}{14x \cdot h_A} = \dfrac{3}{28} \Rightarrow S_{AHN} = \dfrac{3}{28}S_{ABCD} = \dfrac{3}{2}.

С другой стороны:

S_{AHN} = \dfrac{1}{2} \cdot AN \cdot HT= \dfrac{3}{2};\\\dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot HT = \dfrac{3}{2};\\HT = \dfrac{3}{7}.

По теореме Пифагора в

\triangle KHT

:

KT = \sqrt{KH^2 + HT^2}= \sqrt{9 + \dfrac{9}{49} } = 3\sqrt{\dfrac{50}{49}} = \dfrac{15\sqrt{2}}{7}.

Таким образом,

S_{AMKN} =\dfrac{MK + AN}{2} \cdot KT = \dfrac{11}{2} \cdot \dfrac{15\sqrt{2}}{7} = \dfrac{165\sqrt{2}}{14}.

Ответ: б)

\dfrac{165\sqrt{2}}{14}

.