Треугольники — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

ПланиметрияЕГКР 23.04.2022

Дан прямоугольный треугольник

R S T

с прямым углом

T

. На катете

R T

взята точка

M

. Окружность с центром

O

и диаметром

T M

касается гипотенузы в точке

N

.

a) Докажите, что прямые

M N

S O

параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника

S O M N

, если

T N=8

R M: M T=1: 3

Решение

а)

\angle RNM = \angle MTN

как угол между касательной и хордой, а

\angle TNM = 90^{\circ}

как вписанный и опирающийся на диаметр.
Четырёхугольник

NOTS

— вписанный, так как

\angle ONS + \angle OTS = 180^{\circ}

, значит,

\angle NTO = \angle NSO

как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Получаем, что

\angle RNM = \angle RTN = \angle RSO

, то есть

\angle RNM = \angle RSO

, а они являются соответственными при прямых

MN

SO

и секущей

RS

, значит,

MN \parallel SO

, ч.т.д.

$Изображение 1$

б) Пусть

RM = x

MT = 3x

, значит,

MO = OT = 1,5x

.
По теореме о касательной и секущей:

RN^2 = RM \cdot RT, \quad RN^2 = x \cdot 4x = 4x^2, \quad RN = 2x.

\triangle RMN \sim \triangle ROS

по двум углам:

\angle R

— общий,

\angle RNM = \angle RSO

из пункта а). Тогда запишем отношение соответственных сторон:

\dfrac{RM}{RO} = \dfrac{RN}{RS}, \quad \dfrac{x}{2,5x} = \dfrac{2x}{RS}, \quad RS = 5x.

Значит,

NS = RS - RN = 5x - 2x = 3x

, а

NS = ST = 3x

как отрезки касательных, проведённых из одной точки.
Из треугольника

RTS

имеем:

\cos \angle S = \dfrac{ST}{SR} = \dfrac{3}{5}.

По теореме косинусов в

\triangle STN

NT^2 = ST^2 + SN^2 - 2ST \cdot SN \cdot \cos \angle S;

64 = 9x^2 + 9x^2 - 2\cdot 3x \cdot 3x \cdot \dfrac{3}{5};

64 = 18x^2 - \dfrac{54x^2}{5};

64 = \dfrac{36x^2}{5};

x^2 = \dfrac{80}{9}.

Вычислим площадь

\triangle RST

S_{RST} = \dfrac{1}{2}RT\cdot TS = \dfrac{1}{2}\cdot 4x \cdot 3x = 6x^2.

Треугольники

ROS

RTS

имеют общую высоту

ST

, значит:

\dfrac{S_{\triangle ROS}}{S_{\triangle RTS}} = \dfrac{RO}{RT} = \dfrac{5}{8}, \quad S_{\triangle ROS} = \dfrac{5}{8} S_{\triangle RTS} = \dfrac{5}{8} \cdot 6x^2 = \dfrac{15}{4}x^2.

$Изображение 2$

Из подобия треугольников

RMN

ROS

\dfrac{S_{\triangle RMN}}{S_{\triangle ROS}} = \dfrac{4}{25}, \quad S_{\triangle RMN} = \dfrac{4}{25}S_{\triangle ROS}, \quad S_{\triangle SOMN} = \dfrac{21}{25}S_{\triangle ROS} = \dfrac{21}{25} \cdot \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{80}{9} = 28.

Ответ: 28.

Похожие задачи