Дан прямоугольный треугольник RST с прямым углом T. На катете RT взята точка M. Окружность с центром O и диаметром TM касается гипотенузы в точке N.
a) Докажите, что прямые MN и SO параллельны.
б) Найдите площадь четырехугольника SOMN, если TN=8 и $R M: M
Решение
а) ∠RNM=∠MTN как угол между касательной и хордой, а ∠TNM=90∘ как вписанный и опирающийся на диаметр.
Четырёхугольник NOTS -- вписанный, так как ∠ONS+∠OTS=180∘, значит, ∠NTO=∠NSO как вписанные и опирающиеся на одну дугу.
Получаем, что ∠RNM=∠RTN=∠RSO, то есть ∠RNM=∠RSO, а они являются соответственными при прямых MN и SO и секущей RS, значит, MN∥SO, ч.т.д.
б) Пусть RM=x,MT=3x, значит, MO=OT=1,5x. По теореме о касательной и секущей:
RN2=RM⋅RT,RN2=x⋅4x=4x2,RN=2x. △RMN∼△ROS по двум углам: ∠R -- общий, ∠RNM=∠RSO из пункта а). Тогда запишем отношение соответственных сторон:
RORM=RSRN,2,5xx=RS2x,RS=5x. Значит, NS=RS−RN=5x−2x=3x, а NS=ST=3x как отрезки касательных, проведённых из одной точки.
Из треугольника RTS имеем:
cos∠S=SRST=53. По теореме косинусов в △STN: NT2=ST2+SN2−2ST⋅SN⋅cos∠S; 64=9x2+9x2−2⋅3x⋅3x⋅53; 64=18x2−554x2; 64=536x2; x2=980. Вычислим площадь △RST: SRST=21RT⋅TS=21⋅4x⋅3x=6x2. Треугольники ROS и RTS имеют общую высоту ST, значит:
S△RTSS△ROS=RTRO=85,S△ROS=85S△RTS=85⋅6x2=415x2.
Из подобия треугольников RMN и ROS: S△ROSS△RMN=254,S△RMN=254S△ROS,S△SOMN=2521S△ROS=2521⋅415⋅980=28. Ответ: 28.
