Школьник
Студент
Учитель
Личный кабинет
Назад
Исследование функций
ФИПИ
Скопировать ссылку
4fc62809
Найдите наименьшее значение функции
y
=
x
x
−
9
x
+
25
y=x\sqrt{x}-9 x+25
y
=
x
x
−
9
x
+
25
на отрезке
[
1
;
50
]
[1; 50]
[
1
;
50
]
.
Ответ:
Ответить
Показать ответ
Ответ
Показать решение
Решение
Сообщить об ошибке
Решение
Функция
y
y
y
определена при
x
⩾
0
x \geqslant 0
x
⩾
0
.
Отрезок
[
1
;
50
]
[1; 50]
[
1
;
50
]
входит в область определения.
Найдём производную:
y
′
=
3
2
x
1
2
−
9
=
3
2
x
−
9.
y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 9 = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 9.
y
′
=
2
3
x
2
1
−
9
=
2
3
x
−
9.
Найдём нули производной:
3
2
x
−
9
=
0
;
\frac{3}{2}\sqrt{x} - 9 = 0;
2
3
x
−
9
=
0
;
x
=
6
;
\sqrt{x} = 6;
x
=
6
;
x
=
36.
x = 36.
x
=
36.
Отметим на оси
O
x
Ox
O
x
нули производной и определим промежутки убывания и возрастания:
y
′
(
1
)
=
3
2
−
9
>
0
y'(1) = \dfrac{3}{2} - 9 > 0
y
′
(
1
)
=
2
3
−
9
>
0
,
поэтому производная меняет знак с «–» на «+» в точке
x
=
36
x = 36
x
=
36
.
Значит, это точка минимума.
Таким образом, функция
y
y
y
достигает наименьшего значения на отрезке
[
1
;
50
]
[1;50]
[
1
;
50
]
в точке
36
36
36
:
y
(
36
)
=
36
36
−
9
⋅
36
+
25
=
216
−
324
+
25
=
−
83.
y(36) = 36\sqrt{36} - 9 \cdot 36 + 25 = 216 - 324 + 25 = -83.
y
(
36
)
=
36
36
−
9
⋅
36
+
25
=
216
−
324
+
25
=
−
83.
Ответ:
−
83
-83
−
83
.
