Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2017 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\sqrt{x-a}\cdot \sin x=\sqrt{x-a}\cdot \cos x

имеет ровно один корень на отрезке

[0;\pi]

Решение

Вынесем общий множитель за скобки:

\sqrt{x-a}\cdot(\sin x -\cos x)=0, \quad \left [\begin{gathered} \begin{cases} \sin x = \cos x, \\ x-a\ge0, \end{cases} \quad (1)\\ \sqrt{x-a}=0. \qquad (2)\end{gathered}\right.

\1 случай:

\sin x = \cos x, \quad \tg x=1, \quad x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

Заметим, что промежутку

[0;\pi]

подходит только

x=\dfrac{\pi}{4}

.

Найдём, при каких

a

корень

x=\dfrac{\pi}{4}

удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:

\dfrac{\pi}{4}-a\ge0, \quad a\le \dfrac{\pi}{4}.

2 случай:

\sqrt{x-a}=0, \quad x-a=0, \quad x=a.

Найдём, при каких

a

корень

x=a

принадлежит промежутку

[0;\pi]

0\le a\le \pi.

Рассмотрим совпадение корней

x=a

x=\dfrac{\pi}{4}

a=\dfrac{\pi}{4}.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно один корень:

Получаем, что ровно один корень будет при

a\in (-\infty; 0) \cup \left [\dfrac{\pi}{4}; \pi \right]

.

Ответ:

a\in (-\infty; 0) \cup \left [\dfrac{\pi}{4}; \pi \right]

Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи