Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x−a⋅sinx=x−a⋅cosx имеет ровно один корень на отрезке [0;π].
Решение
Вынесем общий множитель за скобки:
x−a⋅(sinx−cosx)=0,{sinx=cosx,x−a≥0,(1)x−a=0.(2) \1 случай:
sinx=cosx,tgx=1,x=4π+πk,k∈Z. Заметим, что промежутку [0;π] подходит только x=4π.
Найдём, при каких a корень x=4π удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:
4π−a≥0,a≤4π. 2 случай:
x−a=0,x−a=0,x=a. Найдём, при каких a корень x=a принадлежит промежутку [0;π]: 0≤a≤π. Рассмотрим совпадение корней x=a и x=4π:a=4π. Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно один корень:
Получаем, что ровно один корень будет при a∈(−∞;0)∪[4π;π].
