Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Экономические задачиЕГКР 07.04.2026

В мае 2027 года садовод планирует взять кредит в банке для строительства на участке летней кухни. Банк предоставляет кредит на следующих условиях:

— каждый январь долг увеличивается на

r\,\%

по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Садовод рассчитал, что если ежегодно выплачивать по

41\,472

рубля, то кредит можно будет полностью погасить за 4 года, а если ежегодно выплачивать по

70\,272

рубля, то кредит можно будет погасить за 2 года. Найдите

r

Решение

В кредит планируется взять

S

рублей. Каждый год долг увеличивается на

r\,\%

, то есть в

k=1 + \dfrac{r}{100}

раз. После этого выплачивается

x = 41\,472

рублей (если кредит берется на

4

года) или

y = 70\,272

рублей (если кредит берется на

2

года). В каждом случае долг в итоге будет равен нулю. Получаем следующую систему уравнений:

\begin{cases} (((Sk - x)k - x)k - x)k-x = 0,\\ (Sk - y)k - y = 0; \end{cases}

\begin{cases} Sk^4 - xk^3 - xk^2 - kx- x = 0,\\ Sk^2 - yk - y = 0; \end{cases}

\begin{cases} Sk^4 = x(k^3 + k^2 +k + 1),\\ Sk^2 = y(k + 1); \end{cases}

\begin{cases} Sk^4 = x(k+1)(k^2+1),\\ Sk^2 = y(k + 1). \end{cases}

Поделим первое уравнение на второе (это можно сделать, так как во втором уравнении обе части не могут обратиться в ноль):

k^2 = \left |\dfrac{x(k+1)(k^2+1)}{y(k + 1)};\quad \right|\cdot y \\ yk^2 = xk^2 + x;\\ (y - x)k^2 = x;\\ k^2 = \dfrac{x}{y-x}.

Подставим известные значения:

k^2 = \dfrac{41\ 472}{70\ 272\ - 41\ 472}=\dfrac{41\ 472}{28\ 800}=\dfrac{2\cdot12^4}{2\cdot120^2}=\dfrac{36}{25}=1,2^2.

Поскольку

k > 0

k = \dfrac{6}{5}; \quad 1 + \dfrac{r}{100} = \dfrac{6}{5}; \quad \dfrac{r}{100} = \dfrac{1}{5}; \quad r = 20.

Ответ:

20

Кредиты — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи