В мае 2027 года садовод планирует взять кредит в банке для строительства на участке летней кухни. Банк предоставляет кредит на следующих условиях:
-- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
-- с февраля по апрель необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Садовод рассчитал, что если ежегодно выплачивать по 41472 рубля, то кредит можно будет полностью погасить за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 70272 рубля, то кредит можно будет погасить за 2 года. Найдите r.
Решение
В кредит планируется взять S рублей. Каждый год долг увеличивается на r%, то есть в k=1+100r раз. После этого выплачивается x=41472 рублей (если кредит берется на 4 года) или y=70272 рублей (если кредит берется на 2 года). В каждом случае долг в итоге будет равен нулю. Получаем следующую систему уравнений:
\end{spacing}
{(((Sk−x)k−x)k−x)k−x=0,(Sk−y)k−y=0; {Sk4−xk3−xk2−kx−x=0,Sk2−yk−y=0; {Sk4=x(k3+k2+k+1),Sk2=y(k+1); {Sk4=x(k+1)(k2+1),Sk2=y(k+1). Поделим первое уравнение на второе (это можно сделать, так как во втором уравнении обе части не могут обратиться в ноль):
k2=y(k+1)x(k+1)(k2+1);⋅yyk2=xk2+x;(y−x)k2=x;k2=y−xx. Подставим известные значения:
k2=70272−4147241472=2880041472=2⋅12022⋅124=2536=1,22.
Поскольку k>0, k=56;1+100r=56;100r=51;r=20. Ответ: 20.
