Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026ЕГЭ 2017 (основа)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\ln(5x-2)\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0

имеет ровно один корень на отрезке

[0;1]

Решение

Уравнение равносильно совокупности систем:

\left [\begin{gathered} \begin{cases} \ln (5x-2)=0, \\ x^2-2x+2a-a^2\ge0, \end{cases} \quad (1) \\ \begin{cases} \sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0, \\ 5x-2>0. \end{cases} \quad (2)\end{gathered}\right.

1 случай:

\ln (5x-2)=0, \quad 5x-2=1, \quad x=\dfrac{3}{5}.

Заметим, что

x=\dfrac{3}{5}

принадлежит отрезку

[0;1]

.

Найдём, при каких

a

корень

x=\dfrac{3}{5}

удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения:

\left(\dfrac{3}{5}\right)^2-2\cdot \dfrac{3}{5}+2a-a^2\ge0; \ \big | \cdot 25;

9-30+50a-25a^2\ge0; \quad 25a^2-50a+21\le 0;

D=2500-2100=400;

a_1=\dfrac{50+20}{50}=\dfrac{7}{5}, \quad a_2=\dfrac{50-20}{50}=\dfrac{3}{5};

25\left(a-\dfrac{3}{5}\right)\left(a-\dfrac{7}{5}\right)\le0;

$Изображение 1$

a\in \left [\dfrac{3}{5}; \dfrac{7}{5}\right].

2 случай:

\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0;

x^2-2x+2a-a^2=0;

D=4-4(2a-a^2)=4a^2-8a+4=4(a-1)^2;

x_1=\dfrac{2+2a-2}{2}=a, \quad x_2=\dfrac{2-2a+2}{2}=2-a.

Рассмотрим корень

x=a

. Найдём такие

a

, при которых он удовлетворяет ограничению

5x-2>0

и принадлежит отрезку

[0;1]

\begin{cases} 5a-2>0, \\ 0\le a \le 1; \end{cases}\quad \begin{cases} 5a>2, \\ 0\le a \le 1; \end{cases} \quad \begin{cases} a>\dfrac{2}{5}, \\ 0\le a \le 1; \end{cases} \quad a\in \left (\dfrac{2}{5};1\right].

$Изображение 2$

Рассмотрим корень

x=2-a

. Найдём такие

a

, при которых он удовлетворяет ограничению

5x-2>0

и принадлежит отрезку

[0;1]

\begin{cases} 5(2-a)-2>0, \\ 0\le 2-a \le 1; \end{cases}\quad \begin{cases} 10-5a-2>0, \\ -2\le -a \le -1; \end{cases} \quad \begin{cases} a<\dfrac{8}{5}, \\ 1\le a \le 2; \end{cases} \quad a\in \left [1; \dfrac{8}{5}\right).

$Изображение 3$

Рассмотрим совпадение корней:
1)

x=\dfrac{3}{5}

x=a

a=\dfrac{3}{5}.

x=\dfrac{3}{5}

x=2-a

\dfrac{3}{5}=2-a, \quad a=\dfrac{7}{5}.

x=a

x=2-a

a=2-a, \quad 2a=2, \quad a=1.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно одно решение:

$Изображение 4$

Получаем, что ровно одно решение будет при

a\in \left(\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{5}\right] \cup \left[\dfrac{7}{5};\dfrac{8}{5}\right)

.

Ответ:

a\in \left(\dfrac{2}{5};\dfrac{3}{5}\right] \cup \left[\dfrac{7}{5};\dfrac{8}{5}\right)

Иррациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи